Les extrema locaux (ou relatifs) d’une fonction correspondent aux « sommets des collines » (maximums locaux) et aux « fonds des vallées » (minimums locaux) de sa courbe. Un point est un extremum local si c’est le point le plus haut ou le plus bas dans un petit voisinage autour de lui.
Si une fonction $f$ admet un extremum local en un point $c$ à l’intérieur de son domaine de définition et si $f$ est dérivable en $c$, alors on a obligatoirement : $$f'(c) = 0$$
Un point $c$ où $f'(c)=0$ est appelé un point critique. C’est un candidat pour être un extremum local.
Attention : Ce n’est pas une condition suffisante ! Par exemple, pour $f(x)=x^3$, on a $f'(0)=0$, mais 0 n’est ni un maximum ni un minimum local (c’est un point d’inflexion à tangente horizontale).
Méthode 1 : Le Test de la Dérivée Première (la plus courante)
Cette méthode repose sur l’étude du changement de signe de la dérivée.
- Calculer la dérivée $f'(x)$.
- Trouver les points critiques : On résout l’équation $f'(x)=0$ pour trouver les abscisses $c$ des points candidats.
- Étudier le signe de $f'(x)$ : On dresse un tableau de variations de $f$ en étudiant le signe de $f'(x)$ de part et d’autre de chaque point critique.
- Conclure : Pour chaque point critique $c$ :
- Si $f'(x)$ passe de positif à négatif en $c$, alors $f$ admet un maximum local en $c$.
- Si $f'(x)$ passe de négatif à positif en $c$, alors $f$ admet un minimum local en $c$.
- Si $f'(x)$ ne change pas de signe, il n’y a pas d’extremum local en $c$.
Trouver les extrema locaux de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 1$.
- Dérivée : $f'(x) = x^2 – 2x – 3$.
- Points critiques : On résout $x^2 – 2x – 3 = 0$.
Discriminant $\Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
Racines : $c_1 = \frac{2-4}{2}=-1$ et $c_2 = \frac{2+4}{2}=3$. - Tableau de variations : $f'(x)$ est un polynôme du second degré, positif à l’extérieur des racines.
$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$ Signe de $f'(x)$ + 0 – 0 + Var. de $f$ ↗ Max ↘ Min ↗ - Conclusion :
- En $x=-1$, la dérivée passe de + à -. La fonction admet donc un maximum local. Sa valeur est $f(-1) = -\frac{1}{3}-1+3+1 = \frac{8}{3}$.
- En $x=3$, la dérivée passe de – à +. La fonction admet donc un minimum local. Sa valeur est $f(3) = 9-9-9+1 = -8$.