Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F \cap G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui appartiennent à la fois à $F$ et à $G$. Le résultat de cette intersection est toujours un sous-espace vectoriel. La méthode pour le trouver dépend de la manière dont $F$ et $G$ sont définis (par des équations ou par des familles génératrices).
Un vecteur $v$ est dans $F \cap G$ s’il vérifie les conditions d’appartenance à $F$ ET les conditions d’appartenance à $G$.
- Cas 1 : F et G sont définis par des équations.
C’est le cas le plus simple. On résout le système d’équations formé par la réunion des équations de $F$ et de $G$. L’ensemble des solutions est $F \cap G$. - Cas 2 : F est défini par des générateurs et G par des équations.
On prend un vecteur générique de $F$, c’est-à-dire une combinaison linéaire de ses générateurs. On substitue les coordonnées de ce vecteur générique dans les équations de $G$. On résout pour trouver les coefficients de la combinaison linéaire qui satisfont les équations. - Cas 3 : F et G sont définis par des générateurs.
Il faut d’abord trouver un système d’équations pour l’un des deux sous-espaces (par exemple F), puis on applique la méthode du Cas 2.
Exemple 1 : Intersection de deux plans dans $\mathbb{R}^3$ (par équations)
Soit $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\}$ et $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x-y+z=0\}$.
On résout le système formé par les deux équations :
$\begin{cases} x+y-z=0 \\ 2x-y+z=0 \end{cases}$
En additionnant les deux lignes $(L_1+L_2)$, on obtient $3x=0$, donc $x=0$.
En remplaçant $x=0$ dans la première équation, on a $y-z=0$, soit $y=z$.
Les vecteurs de l’intersection sont donc de la forme $(0, y, y)$ où $y \in \mathbb{R}$.
$F \cap G = \{(0, y, y) \mid y \in \mathbb{R}\} = \text{Vect}((0, 1, 1))$.
L’intersection est la droite dirigée par le vecteur $(0,1,1)$.
Exemple 2 : Intersection d’un plan (équations) et d’un sous-espace (générateurs)
Dans $\mathbb{R}^4$, soit $F = \{(x,y,z,t) \mid x+y=0 \text{ et } z-t=0\}$ et $G = \text{Vect}(v_1, v_2)$ avec $v_1=(1,0,1,0)$ et $v_2=(0,1,1,1)$.
1. On prend un vecteur générique $u \in G$ :
$u = a v_1 + b v_2 = a(1,0,1,0) + b(0,1,1,1) = (a, b, a+b, b)$ pour $a, b \in \mathbb{R}$.
2. On injecte ses coordonnées $(x,y,z,t)=(a, b, a+b, b)$ dans les équations de F :
Première équation : $x+y=0 \implies a+b=0 \implies b=-a$.
Deuxième équation : $z-t=0 \implies (a+b)-b=0 \implies a=0$.
3. On résout pour $a$ et $b$ :
Si $a=0$, alors $b=-a=0$. La seule solution est $a=0, b=0$.
Conclusion : Le seul vecteur de $G$ qui est aussi dans $F$ est obtenu pour $a=b=0$, soit $u = (0,0,0,0)$.
$F \cap G = \{0_{\mathbb{R}^4}\}$. L’intersection est réduite au vecteur nul.
Exemple 3 : Intersection de deux plans dans $\mathbb{R}^4$ (par générateurs)
Soit $F=\text{Vect}(u_1, u_2)$ et $G=\text{Vect}(v_1, v_2)$ avec $u_1=(1,1,0,0)$, $u_2=(0,1,1,0)$, $v_1=(1,0,0,1)$ et $v_2=(0,1,0,0)$.
Étape 1 : Trouver les équations de F.
Un vecteur $w=(x,y,z,t)$ est dans $F$ si la famille $(w, u_1, u_2)$ est liée, c’est-à-dire si le rang de la matrice des vecteurs colonnes est 2.
$\begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 1 & 1 \\ z & 0 & 1 \\ t & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Clairement, pour que le rang ne soit pas 3, il faut $t=0$.
En échelonnant le reste, on trouve la condition $x-y+z=0$.
Donc $F = \{(x,y,z,t) \mid t=0 \text{ et } x-y+z=0\}$.
Étape 2 : Appliquer la méthode du Cas 2.
Un vecteur générique de $G$ est $u = a v_1 + b v_2 = (a, b, 0, a)$.
On injecte $(x,y,z,t)=(a,b,0,a)$ dans les équations de $F$:
$t=0 \implies a=0$.
$x-y+z=0 \implies a-b+0=0 \implies a-b=0$.
La seule solution est $a=0$ et donc $b=0$.
Conclusion : $F \cap G = \{0_{\mathbb{R}^4}\}$.
Cette formule très importante relie les dimensions de deux sous-espaces avec celles de leur somme et de leur intersection :
$\text{dim}(F+G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G) – \text{dim}(F \cap G)$
Elle permet de trouver la dimension de l’intersection si on connaît celle de la somme $F+G$ (qui est l’espace engendré par la réunion des générateurs de F et G). C’est un excellent moyen de vérifier ses calculs.