La dérivée est un outil puissant non seulement pour étudier les variations des fonctions, mais aussi pour calculer des limites qui présentent une forme indéterminée. Il existe deux techniques principales basées sur la dérivation.
Méthode 1 : Reconnaître la Définition du Nombre Dérivé
Cette technique est très élégante et rapide lorsque la limite a la structure d’un taux d’accroissement.
Par définition, le nombre dérivé de $f$ en $a$ est : $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} $$ Si une limite à calculer a cette forme exacte, le résultat est simplement $f'(a)$.
- Identification : On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On essaie de faire apparaître la structure du taux d’accroissement.
On pose $f(x) = \ln(x)$ et $a=1$. - Vérification :
$f(a) = f(1) = \ln(1) = 0$.
La limite s’écrit donc : $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1}$. - Conclusion : On reconnaît exactement la définition de $f'(1)$.
On calcule la dérivée : $f'(x) = \frac{1}{x}$.
On évalue en $a=1$ : $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.
Donc, $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$.
Méthode 2 : Appliquer la Règle de l’Hôpital
C’est une méthode très puissante, presque « mécanique », pour lever les indéterminations de type $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables au voisinage d’un point $a$ (qui peut être fini ou infini), avec $g'(x) \neq 0$.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ (ou les deux tendent vers $\pm\infty$),
ET si la limite $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe (et vaut $L$),
ALORS on a :
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L $$
Attention : On dérive le numérateur et le dénominateur séparément. On n’applique pas la formule de dérivation d’un quotient !
Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}$.
- Vérification : On est bien dans le cas d’une F.I. $\frac{0}{0}$.
On pose $f(x) = \ln(x)$ et $g(x) = x-1$. - Dérivation séparée :
$f'(x) = \frac{1}{x}$.
$g'(x) = 1$. - Calcul de la nouvelle limite :
$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = \frac{1/1}{1} = 1$.
Conclusion : Puisque la limite du quotient des dérivées existe et vaut 1, la limite initiale vaut également 1.