Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale

Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale

Une matrice orthogonale est une matrice carrée qui représente une isométrie, c’est-à-dire une transformation qui conserve les longueurs et les angles (comme les rotations ou les réflexions). Elles sont fondamentales en géométrie, en infographie et en physique. Heureusement, il existe des critères très clairs pour les identifier.

Exemple 1 : Une matrice de rotation 2×2

Soit la matrice $R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$.

Méthode 1 : Vérifier que les colonnes forment une base orthonormale.
Soit $C_1 = (\cos\theta, \sin\theta)$ et $C_2 = (-\sin\theta, \cos\theta)$.
– Normes : $\|C_1\|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ et $\|C_2\|^2 = (-\sin\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$. Les colonnes sont bien de norme 1.
– Orthogonalité : $\langle C_1, C_2 \rangle = \cos\theta(-\sin\theta) + \sin\theta(\cos\theta) = 0$. Les colonnes sont orthogonales.

Les colonnes formant une base orthonormale, la matrice $R$ est orthogonale.

Méthode 2 : Calculer $R^T R$.
$R^T R = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2\theta+\sin^2\theta & -\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta \\ -\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta+\cos^2\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$.

Le calcul confirme que $R$ est bien orthogonale.

Exemple 2 : Une matrice 3×3

La matrice $A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ est-elle orthogonale ?

Vérifions si les colonnes $C_1, C_2, C_3$ forment une base orthonormale.
Normes :
$\|C_1\|^2 = (\frac{1}{3})^2(1^2+2^2+2^2) = \frac{1}{9}(9) = 1$.
$\|C_2\|^2 = (\frac{1}{3})^2((-2)^2+(-1)^2+2^2) = \frac{1}{9}(9) = 1$.
$\|C_3\|^2 = (\frac{1}{3})^2(2^2+(-2)^2+1^2) = \frac{1}{9}(9) = 1$.

Orthogonalité :
$\langle C_1, C_2 \rangle = (\frac{1}{3})^2(1(-2)+2(-1)+2(2)) = \frac{1}{9}(-2-2+4) = 0$.
$\langle C_1, C_3 \rangle = (\frac{1}{3})^2(1(2)+2(-2)+2(1)) = \frac{1}{9}(2-4+2) = 0$.
$\langle C_2, C_3 \rangle = (\frac{1}{3})^2(-2(2)+(-1)(-2)+2(1)) = \frac{1}{9}(-4+2+2) = 0$.

Les colonnes forment une base orthonormale, donc $A$ est orthogonale.

Exemple 3 : Un contre-exemple (le piège de la norme)

Soit la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Vérifions ses colonnes $C_1=(1,1)$ et $C_2=(-1,1)$.
Orthogonalité : $\langle C_1, C_2 \rangle = 1(-1)+1(1) = 0$. Les colonnes sont bien orthogonales.
Normes : $\|C_1\|^2 = 1^2+1^2=2 \neq 1$.

Les colonnes sont orthogonales mais pas de norme 1. La condition « orthonormale » n’est pas remplie.
Conclusion : $B$ n’est pas une matrice orthogonale.