Comment Vérifier si une Base est Orthonormale
Une base orthonormale (ou orthonormée) est une base « idéale » pour un espace euclidien. Elle est constituée de vecteurs qui sont tous perpendiculaires les uns aux autres et qui ont tous une longueur de 1. Travailler dans une telle base simplifie drastiquement les calculs de produits scalaires et de coordonnées.
Pour qu’une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ soit orthonormale, elle doit satisfaire deux conditions cumulatives :
- Orthogonalité : Tous les vecteurs de la base doivent être orthogonaux deux à deux.
Pour tout $i \neq j$, on doit avoir $\langle e_i, e_j \rangle = 0$. - Normalité : Chaque vecteur de la base doit être de norme 1.
Pour tout $i$, on doit avoir $\|e_i\| = 1$ (ce qui est équivalent à $\langle e_i, e_i \rangle = 1$).
On peut résumer ces deux conditions en une seule : $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker).
Exemple 1 : La base canonique de $\mathbb{R}^3$
Soit la base $\mathcal{B}= (e_1, e_2, e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$.
1. Orthogonalité :
$\langle e_1, e_2 \rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$.
$\langle e_1, e_3 \rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
$\langle e_2, e_3 \rangle = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
La base est bien orthogonale.
2. Normalité :
$\|e_1\| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1$.
$\|e_2\| = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = 1$.
$\|e_3\| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
Tous les vecteurs sont de norme 1.
Conclusion : La base canonique est orthonormale.
Exemple 2 : Une base orthogonale mais non normée
Soit la base $\mathcal{C}= (v_1, v_2)$ de $\mathbb{R}^2$ avec $v_1=(1,1)$ et $v_2=(-2,2)$.
1. Orthogonalité :
$\langle v_1, v_2 \rangle = 1(-2) + 1(2) = -2+2=0$. La base est orthogonale.
2. Normalité :
$\|v_1\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Comme $\|v_1\| \neq 1$, la condition de normalité n’est pas remplie. Il est inutile de tester les autres vecteurs.
Conclusion : La base est orthogonale, mais pas orthonormale.
Exemple 3 : Une base ni orthogonale, ni normée
Soit la base $\mathcal{D}= (w_1, w_2)$ de $\mathbb{R}^2$ avec $w_1=(1,0)$ et $w_2=(1,1)$.
1. Orthogonalité :
$\langle w_1, w_2 \rangle = 1(1) + 0(1) = 1$.
Comme le produit scalaire n’est pas nul, la base n’est pas orthogonale.
Conclusion : Puisqu’elle n’est pas orthogonale, elle ne peut pas être orthonormale. Il est inutile de vérifier la condition de normalité.
- Calcul des coordonnées : Les coordonnées d’un vecteur $u$ dans une base orthonormale $(e_i)$ sont simplement les produits scalaires : $u = \sum_{i=1}^n \langle u, e_i \rangle e_i$.
- Produit scalaire : Dans une base orthonormale, le produit scalaire de deux vecteurs se calcule comme le produit scalaire usuel de leurs vecteurs de coordonnées.
- Matrice de passage : La matrice de passage d’une base orthonormale à une autre est toujours une matrice orthogonale.