Comprendre la Transposée d’une Application Linéaire
Tout comme on peut transposer une matrice, on peut définir la transposée (ou l’adjointe) d’une application linéaire $f: E \to F$. Notée $f^T$ ou $f^*$, c’est une nouvelle application linéaire qui « va dans l’autre sens », de $F$ vers $E$, et qui est intimement liée à $f$ par le produit scalaire.
Soient $E$ et $F$ deux espaces euclidiens et $f: E \to F$ une application linéaire. Sa transposée $f^T: F \to E$ est l’unique application linéaire qui vérifie la relation suivante pour tous vecteurs $u \in E$ and $v \in F$ :
$\langle f(u), v \rangle_F = \langle u, f^T(v) \rangle_E$
La règle pratique : Si $A$ est la matrice de $f$ dans des bases orthonormales $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$, alors la matrice de $f^T$ dans les bases $\mathcal{B}_F$ et $\mathcal{B}_E$ est simplement la matrice transposée $A^T$.
Exemple 1 : Endomorphisme de $\mathbb{R}^2$
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+2y, 3y-x)$.
1. Matrice de $f$ dans la base canonique (orthonormale) :
$f(1,0)=(1,-1)$ et $f(0,1)=(2,3)$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.
2. Matrice de $f^T$ :
La matrice de $f^T$ est $A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.
3. Formule de $f^T$ :
L’image d’un vecteur $(x,y)$ par $f^T$ est donnée par le produit $A^T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
$A^T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y \\ 2x+3y \end{pmatrix}$.
Donc, $f^T(x,y) = (x-y, 2x+3y)$.
Exemple 2 : Application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$
Soit $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ dont la matrice dans les bases canoniques est $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
1. Matrice de $g^T$ :
L’application $g^T$ va de $\mathbb{R}^3$ à $\mathbb{R}^2$. Sa matrice est $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
2. Formule de $g^T$ :
On calcule l’image d’un vecteur $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$.
$A^T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y \\ y-z \end{pmatrix}$.
Donc, $g^T(x,y,z) = (x+2y, y-z)$.
Exemple 3 : Vérification de la définition
Reprenons $f(x,y) = (x+2y, 3y-x)$ et $f^T(x,y) = (x-y, 2x+3y)$ de l’exemple 1.
Soient $u=(x_1, y_1)$ et $v=(x_2, y_2)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$. Vérifions que $\langle f(u), v \rangle = \langle u, f^T(v) \rangle$.
Calcul de gauche :
$\langle f(u), v \rangle = \langle (x_1+2y_1, 3y_1-x_1), (x_2, y_2) \rangle$
$= (x_1+2y_1)x_2 + (3y_1-x_1)y_2$
$= x_1x_2 + 2y_1x_2 + 3y_1y_2 – x_1y_2$.
Calcul de droite :
$\langle u, f^T(v) \rangle = \langle (x_1, y_1), (x_2-y_2, 2x_2+3y_2) \rangle$
$= x_1(x_2-y_2) + y_1(2x_2+3y_2)$
$= x_1x_2 – x_1y_2 + 2y_1x_2 + 3y_1y_2$.
Les deux résultats sont identiques, ce qui confirme la validité de la définition.
- Lien avec l’endomorphisme symétrique : Un endomorphisme $f$ est symétrique si et seulement s’il est égal à sa transposée : $f = f^T$.
- Propriétés opératoires : $(f+g)^T = f^T+g^T$, $(\lambda f)^T = \lambda f^T$, $(f \circ g)^T = g^T \circ f^T$ (attention à l’inversion de l’ordre !), $(f^T)^T = f$.
- Relations entre les sous-espaces : La transposée lie de manière profonde le noyau et l’image :
$\text{Ker}(f^T) = (\text{Im}(f))^\perp$ (le noyau de la transposée est l’orthogonal de l’image).
$\text{Im}(f^T) = (\text{Ker}(f))^\perp$ (l’image de la transposée est l’orthogonal du noyau).