Comprendre le Lien Entre le Rang et le Déterminant
Le rang d’une matrice nous renseigne sur la dimension de l’espace engendré par ses vecteurs colonnes (ou lignes). Le déterminant, quant à lui, est un scalaire qui nous dit si une matrice est inversible. Ces deux notions sont intimement liées pour les matrices carrées.
Pour une matrice carrée $A$ de taille $n \times n$ :
- La matrice $A$ est de rang plein (c’est-à-dire $\text{rang}(A) = n$) si et seulement si son déterminant est non nul ($\det(A) \neq 0$).
- La matrice $A$ n’est pas de rang plein (c’est-à-dire $\text{rang}(A) < n$) si et seulement si son déterminant est nul ($\det(A) = 0$).
Autrement dit, pour une matrice carrée, le déterminant est un test « oui/non » pour savoir si le rang est maximal.
Le déterminant mesure comment une transformation linéaire change les volumes.
– Si $\det(A) \neq 0$, la transformation déforme l’espace, mais un « cube » de dimension $n$ reste un « parallélépipède » de dimension $n$. Aucune dimension n’est perdue. Les vecteurs de la base restent indépendants, donc le rang est $n$.
– Si $\det(A) = 0$, la transformation « écrase » l’espace dans une dimension inférieure. Un cube 3D peut devenir un plan 2D ou une ligne 1D. Une dimension (au moins) est perdue. Les vecteurs colonnes deviennent liés, donc le rang est inférieur à $n$.
Exemple 1 : Matrice de rang plein (det ≠ 0)
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Calcul du déterminant :
$\det(A) = 1(2-1) – 0(\dots) + 1(0-2) = 1 – 2 = -1$.
Comme $\det(A) \neq 0$, le théorème nous prédit que $\text{rang}(A)=3$.
Vérification du rang :
On échelonne la matrice :
$L_3 \leftarrow L_3 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – \frac{1}{2}L_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}$.
On a 3 pivots, donc le rang est bien 3.
Exemple 2 : Matrice de rang non plein (det = 0)
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$. Dans l’article précédent, nous avons vu que $\det(A) = 0$.
Le théorème nous prédit donc que $\text{rang}(A) < 3$.
Vérification du rang :
$L_2 \leftarrow L_2 – 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 – 7L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – 2L_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
On a 2 pivots, donc le rang est 2. C’est bien inférieur à 3.
Exemple 3 : Et pour les matrices non carrées ?
Le déterminant n’est défini que pour les matrices carrées. Le concept de rang, lui, s’applique à toutes les matrices.
Cependant, on peut étendre le lien :
Le rang d’une matrice (carrée ou non) est la taille de la plus grande sous-matrice carrée dont le déterminant est non nul.
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$.
Le rang est au maximum 2. Cherchons une sous-matrice 2×2 avec un déterminant non nul.
Prenons les deux premières colonnes : $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 5-8 = -3 \neq 0$.
On a trouvé une sous-matrice 2×2 inversible. Donc le rang de A est 2.