Construire une Base Duality : la Méthode
À toute base d’un espace vectoriel $E$, on peut associer une base unique de son espace dual $E^*$, appelée la base duale. Cette base est constituée de formes linéaires « coordonnées » qui permettent d’extraire les composantes d’un vecteur dans la base d’origine.
Soit $\mathcal{B}=(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. La base duale $\mathcal{B}^*=(\phi_1, \dots, \phi_n)$ est la famille de formes linéaires de $E^*$ définie par la relation :
$\phi_i(e_j) = \delta_{ij}$ (où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker : 1 si $i=j$, 0 sinon).
Méthode pratique :
- Prendre un vecteur générique $u$ de l’espace.
- Décomposer ce vecteur $u$ dans la base $\mathcal{B}$ : $u = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n$.
- Exprimer chaque coordonnée $x_i$ en fonction des composantes de $u$.
- La forme linéaire $\phi_i$ est précisément la fonction qui à $u$ associe sa $i$-ème coordonnée $x_i$.
Exemple 1 : Base non canonique de $\mathbb{R}^2$
Soit la base $\mathcal{B}=(e_1, e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ avec $e_1=(1,1)$ and $e_2=(1,-1)$. Trouvons sa base duale $(\phi_1, \phi_2)$.
1. On décompose un vecteur $u=(x,y)$ dans la base $\mathcal{B}$ :
$(x,y) = a \cdot e_1 + b \cdot e_2 = a(1,1) + b(1,-1) = (a+b, a-b)$.
2. On résout le système pour trouver les coordonnées $a$ et $b$ :
$\begin{cases} a+b=x \\ a-b=y \end{cases}$. En additionnant les lignes, on a $2a=x+y \implies a=\frac{x+y}{2}$.
En soustrayant les lignes, on a $2b=x-y \implies b=\frac{x-y}{2}$.
3. On identifie les formes linéaires :
La première forme $\phi_1$ est la fonction qui donne la première coordonnée, $a$.
La deuxième forme $\phi_2$ est la fonction qui donne la deuxième coordonnée, $b$.
Conclusion : La base duale est $(\phi_1, \phi_2)$ avec :
$\phi_1(x,y) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$.
$\phi_2(x,y) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}y$.
Exemple 2 : Base triangulaire de $\mathbb{R}^3$
Soit $\mathcal{B}=(e_1, e_2, e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(1,1,0)$, $e_3=(1,1,1)$.
On cherche les coordonnées $(a,b,c)$ de $u=(x,y,z)$ dans cette base :
$(x,y,z) = a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) = (a+b+c, b+c, c)$.
On résout par substitution inversée :
$c = z$.
$b+c=y \implies b = y-c = y-z$.
$a+b+c=x \implies a = x-b-c = x-(y-z)-z = x-y$.
Conclusion : La base duale est $(\phi_1, \phi_2, \phi_3)$ avec :
$\phi_1(x,y,z) = x-y$.
$\phi_2(x,y,z) = y-z$.
$\phi_3(x,y,z) = z$.
Exemple 3 : Base de l’espace des polynômes $\mathbb{R}_1[X]$
Soit la base $\mathcal{B}=(P_1, P_2)$ avec $P_1(X)=1+X$ et $P_2(X)=1-X$.
On décompose un polynôme générique $Q(X)=a+bX$ dans cette base :
$a+bX = c_1(1+X) + c_2(1-X) = (c_1+c_2) + (c_1-c_2)X$.
Par identification des coefficients, on a le système :
$\begin{cases} c_1+c_2=a \\ c_1-c_2=b \end{cases}$.
On trouve $c_1 = \frac{a+b}{2}$ et $c_2 = \frac{a-b}{2}$.
Conclusion : La base duale est $(\phi_1, \phi_2)$ avec :
$\phi_1(a+bX) = \frac{a+b}{2}$.
$\phi_2(a+bX) = \frac{a-b}{2}$.
Il existe une relation très importante entre la matrice de passage d’une base $\mathcal{B}$ à une base $\mathcal{C}$, notée $P$, et la matrice de passage de la base duale $\mathcal{B}^*$ à la base duale $\mathcal{C}^*$, notée $Q$.
Cette relation est : $Q = (P^T)^{-1}$.
La matrice de passage pour la base duale est l’inverse de la transposée de la matrice de passage pour la base primale. C’est une propriété fondamentale de la dualité.