Définition du Noyau d’un Morphisme
Le noyau d’un morphisme de groupes est l’un des concepts les plus importants de la théorie des groupes. Il mesure à quel point un morphisme « s’écarte » d’être injectif. C’est l’ensemble des éléments de l’espace de départ qui sont « écrasés » sur l’élément neutre de l’espace d’arrivée.
Soit $f: (G, \star) \to (H, \bullet)$ un morphisme de groupes, et soit $e_H$ l’élément neutre de $H$.
Le noyau de $f$, noté $\ker(f)$, est l’ensemble des éléments de $G$ dont l’image par $f$ est l’élément neutre de $H$.
$$ \ker(f) = \{ x \in G \mid f(x) = e_H \} $$
C’est donc l’image réciproque du sous-groupe trivial de $H$, $f^{-1}(\{e_H\})$.
Le noyau $\ker(f)$ est toujours un sous-groupe de l’espace de départ $G$.
(Ceci est une conséquence directe du fait que l’image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme est un sous-groupe).
Un morphisme de groupes $f$ est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre. $$ f \text{ est injectif} \iff \ker(f) = \{e_G\} $$
Cette propriété est extrêmement utile : pour vérifier si un morphisme est injectif, il n’est pas nécessaire de tester si $f(x)=f(y) \implies x=y$. Il suffit de calculer le noyau et de vérifier s’il ne contient que l’élément neutre.
Exemples
- Déterminant : Pour le morphisme $\det: (GL_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)$, le noyau est l’ensemble des matrices inversibles dont le déterminant est 1 (l’élément neutre de $\mathbb{R}^*$). C’est le groupe spécial linéaire $SL_n(\mathbb{R})$.
- Signature : Pour le morphisme $\varepsilon: (\mathcal{S}_n, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$, le noyau est l’ensemble des permutations de signature 1. C’est le groupe alterné $\mathcal{A}_n$.
- Logarithme : Pour l’isomorphisme $\ln : (\mathbb{R}_+^*, \times) \to (\mathbb{R}, +)$, le noyau est l’ensemble des réels positifs $x$ tels que $\ln(x)=0$. On a donc $\ker(\ln) = \{1\}$. Le noyau est bien trivial, ce qui confirme que la fonction est injective.