Un système différentiel linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants est un ensemble de $n$ équations différentielles de la forme : $$ (S) \quad \begin{cases} x’_1(t) = a_{11}x_1(t) + a_{12}x_2(t) + \dots + a_{1n}x_n(t) \\ x’_2(t) = a_{21}x_1(t) + a_{22}x_2(t) + \dots + a_{2n}x_n(t) \\ \vdots \\ x’_n(t) = a_{n1}x_1(t) + a_{n2}x_2(t) + \dots + a_{nn}x_n(t) \end{cases} $$ où les $x_i: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ sont des fonctions inconnues de classe $\mathcal{C}^1$ et la matrice $A = (a_{ij})$ est une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients constants (généralement réels ou complexes).
Remarque : Écriture Matricielle et Solution Générale
En posant $X(t)$ le vecteur colonne des fonctions inconnues, $X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}$, le système (S) peut être réécrit de manière beaucoup plus compacte sous la forme matricielle : $$ X'(t) = AX(t) $$
Par analogie directe avec l’équation différentielle scalaire $y’ = ay$ dont la solution est $y(t) = e^{at}y_0$, on peut montrer que la solution générale du système matriciel est donnée par l’exponentielle de la matrice $tA$ : $$ X(t) = \exp(tA) X_0 $$ où $X_0 = X(0)$ est le vecteur colonne des conditions initiales du système.