Une fonction périodique est une fonction qui répète ses valeurs à intervalles réguliers. L’exemple le plus connu est celui des fonctions trigonométriques. Démontrer la périodicité permet de restreindre l’étude de la fonction à un intervalle de longueur égale à la période.
Soit $f$ une fonction et $D_f$ son ensemble de définition.
$f$ est dite périodique s’il existe un nombre réel $T > 0$ tel que pour tout $x \in D_f$ :
- $x+T$ appartient aussi à $D_f$.
- $f(x+T) = f(x)$.
Le plus petit réel $T > 0$ vérifiant cette propriété est appelé la période de la fonction.
Interprétation graphique : La courbe de $f$ est invariante par translation de vecteur $T\vec{i}$.
La Stratégie en 3 Étapes
- Vérifier le domaine de définition : On s’assure que si $x$ est dans $D_f$, alors $x+T$ l’est aussi. Si $D_f = \mathbb{R}$, c’est toujours vrai. Pour des fonctions comme la tangente, il faut être plus prudent.
- Identifier un candidat pour la période $T$ : Pour les fonctions trigonométriques, on se base sur les périodes de référence ($2\pi$ pour sin/cos, $\pi$ pour tan). Pour $f(ax+b)$, si $f$ est $T$-périodique, alors $x \mapsto f(ax+b)$ est $\frac{T}{|a|}$-périodique.
- Calculer $f(x+T)$ : On remplace $x$ par $x+T$ dans l’expression de la fonction et on utilise les propriétés algébriques ou trigonométriques pour montrer que le résultat est bien $f(x)$.
Exemple 1 : $f(x) = \sin(4x)$
- $D_f = \mathbb{R}$, donc le domaine est stable par translation.
- La fonction sinus est $2\pi$-périodique. Le candidat pour la période de $f(x) = \sin(4x)$ est $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
- Calculons $f(x+T)$ : $$f(x+\frac{\pi}{2}) = \sin\left(4(x+\frac{\pi}{2})\right) = \sin(4x + 2\pi)$$ Comme la fonction sinus est $2\pi$-périodique, $\sin(u+2\pi) = \sin(u)$. Donc : $$f(x+\frac{\pi}{2}) = \sin(4x) = f(x)$$ La fonction est donc bien périodique de période $\frac{\pi}{2}$.
Exemple 2 : $g(x) = x – E(x)$ (la partie fractionnaire)
- $D_g = \mathbb{R}$, qui est symétrique.
- On conjecture que la période est $T=1$.
- Calculons $g(x+1)$ : $$g(x+1) = (x+1) – E(x+1)$$ On utilise la propriété de la partie entière : $E(u+n) = E(u) + n$ pour tout entier $n$. $$g(x+1) = (x+1) – (E(x) + 1) = x+1 – E(x) – 1 = x – E(x) = g(x)$$ La fonction est donc périodique de période 1.