Dérivée d’une fonction composée
Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0$, et $g$ une fonction définie sur un voisinage $J$ de $f(x_0)$. Si $f$ est dérivable au point $x_0$ et si $g$ est dérivable au point $f(x_0)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est dérivable en $x_0$ et sa dérivée est donnée par : $$ (g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \times f'(x_0) $$
Démonstration
Le taux d’accroissement de $g \circ f$ en $x_0$ peut s’écrire, pour $x \neq x_0$ : $$ \frac{(g \circ f)(x) – (g \circ f)(x_0)}{x – x_0} = \frac{g(f(x)) – g(f(x_0))}{x – x_0} $$ Si $f(x) \neq f(x_0)$ dans un voisinage de $x_0$, on peut multiplier et diviser par $f(x) – f(x_0)$ : $$ \frac{g(f(x)) – g(f(x_0))}{f(x) – f(x_0)} \times \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} $$ Lorsque $x \to x_0$, comme $f$ est continue en $x_0$, on a $f(x) \to f(x_0)$. Le premier terme tend donc vers $g'(f(x_0))$ et le second vers $f'(x_0)$. Le produit des limites donne le résultat. (Une démonstration plus rigoureuse est nécessaire pour traiter le cas où $f(x)=f(x_0)$ peut se produire pour des $x$ arbitrairement proches de $x_0$).
Dérivée d’une fonction réciproque
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Elle admet une fonction réciproque $g = f^{-1}$, définie sur l’intervalle $J=f(I)$.
Si $f$ est dérivable en un point $x_0 \in I$ et si $f'(x_0) \neq 0$, alors sa réciproque $g=f^{-1}$ est dérivable au point $y_0 = f(x_0)$, et l’on a : $$ g'(y_0) = (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} $$
Démonstration
Soit $y \neq y_0$ un point de $J$. Soit $x = g(y)$, qui est distinct de $x_0$ et appartient à $I$. Le taux d’accroissement de $g$ en $y_0$ est : $$ \frac{g(y) – g(y_0)}{y – y_0} = \frac{x – x_0}{f(x) – f(x_0)} = \left( \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} \right)^{-1} $$ Quand $y$ tend vers $y_0$, $x=g(y)$ tend vers $x_0=g(y_0)$ car la fonction réciproque $g$ est continue. Le terme $\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$ tend donc vers $f'(x_0)$. Puisque cette limite est non nulle par hypothèse, la limite de l’inverse est l’inverse de la limite, ce qui prouve le théorème.
Remarque
Si $f'(x_0) = 0$, le taux d’accroissement de $g$ en $y_0$ tend vers l’infini. La courbe de la fonction réciproque admet alors une tangente verticale au point $y_0$. La formule $g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$ peut être considérée comme encore valable en un sens symbolique.