Dérivée d’une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite du taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x_0$ existe et est finie : $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \alpha \in \mathbb{R} $$ Le nombre réel $\alpha$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et est noté $f'(x_0)$. Si $f$ est dérivable en tout point de $I$, on dit qu’elle est dérivable sur $I$.
Remarque
- En posant $h = x – x_0$, la dérivabilité en $x_0$ équivaut à l’existence d’une limite finie pour $h \to 0$ : $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} $$
- La dérivabilité en $x_0$ peut aussi s’exprimer par l’existence d’une fonction $\epsilon(x)$ telle que $\lim_{x \to x_0} \epsilon(x) = 0$ et : $$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + (x-x_0)\epsilon(x) $$ Cette formulation montre que la fonction affine $x \mapsto f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ est la meilleure approximation de $f$ au voisinage de $x_0$.
Interprétation géométrique
Le taux d’accroissement $\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}$ représente la pente de la droite sécante passant par les points $M_0(x_0, f(x_0))$ et $M(x_0+h, f(x_0+h))$ de la courbe de $f$. Lorsque $h$ tend vers 0, cette sécante tend vers une position limite, qui est par définition la tangente à la courbe au point $M_0$.
Le nombre dérivé $f'(x_0)$ est donc la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$. L’équation de cette tangente est : $$ y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0) $$
Si une fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$, alors elle est continue en ce point.
La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de la fonction $f(x)=|x|$ qui est continue en 0 mais non dérivable en 0.
- On dit que $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie. Cette limite est notée $f’_d(x_0)$.
- On dit que $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie. Cette limite est notée $f’_g(x_0)$.
Une fonction est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et si $f’_d(x_0) = f’_g(x_0)$.
Opérations sur les fonctions dérivables
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en un point $x_0$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors :
- La somme $f+g$ est dérivable en $x_0$ et $(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$.
- Le produit $\lambda f$ est dérivable en $x_0$ et $(\lambda f)'(x_0) = \lambda f'(x_0)$.
- Le produit $fg$ est dérivable en $x_0$ et $(fg)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$.