Dérivées Successives
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Sa fonction dérivée $f’$ est elle-même une fonction. Si $f’$ est à son tour dérivable sur $I$, on note sa dérivée $f »$ ou $f^{(2)}$, appelée dérivée seconde de $f$.
De manière générale, pour $n \in \mathbb{N}^*$, si $f$ est dérivable $n$ fois sur $I$, on définit la dérivée d’ordre n de $f$, notée $f^{(n)}$, par la relation de récurrence : $$ f^{(n)} = (f^{(n-1)})’ $$ Par convention, on pose $f^{(0)} = f$.
Fonction de classe Cp
Soit $I$ un intervalle ouvert et $p$ un entier supérieur ou égal à 1.
- On dit qu’une fonction $f: I \to \mathbb{R}$ est de classe C1 sur $I$ si elle est dérivable sur $I$ et si sa fonction dérivée $f’$ est continue sur $I$.
- On dit que $f$ est de classe Cp sur $I$ si ses dérivées $f’, f », \dots, f^{(p)}$ existent et si $f^{(p)}$ est continue sur $I$.
- On dit que $f$ est de classe C∞ sur $I$ si toutes ses dérivées $f^{(n)}$ existent pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions $n$ fois dérivables en un point $x_0$, alors leur produit $fg$ est également $n$ fois dérivable en $x_0$, et sa dérivée est donnée par : $$ (fg)^{(n)}(x_0) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x_0) g^{(k)}(x_0) $$
Extremums
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I=]a,b[$. On dit que $f$ possède un maximum local (resp. minimum local) en un point $x_0 \in I$ s’il existe un voisinage $\mathcal{V}(x_0) \subset I$ de $x_0$ tel que pour tout $x \in \mathcal{V}(x_0)$, on ait $f(x_0) \ge f(x)$ (resp. $f(x_0) \le f(x)$).
Un maximum ou un minimum local est appelé un extremum local.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I=]a,b[$. Si $f$ admet un extremum local en un point $x_0 \in I$, alors sa dérivée en ce point est nulle : $f'(x_0) = 0$.
La réciproque est fausse : pour $f(x)=x^3$, on a $f'(0)=0$ mais $f$ n’admet pas d’extremum en 0.
Méthode de la Dérivée Seconde
Pour trouver les extremums d’une fonction, on peut :
- Résoudre l’équation $f'(x)=0$ pour trouver les points critiques.
- Pour chaque point critique $a$, calculer la dérivée seconde $f »(a)$ :
- Si $f »(a) < 0$, $f$ admet un maximum local en $a$.
- Si $f »(a) > 0$, $f$ admet un minimum local en $a$.
Cette méthode ne permet pas de conclure si $f »(a)=0$.
Interprétation Géométrique
Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction telle que :
- $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$,
- $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$,
- $f(a) = f(b)$.
Alors, il existe au moins un point $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$.
Géométriquement, cela signifie qu’il existe au moins un point sur la courbe où la tangente est horizontale.
Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, alors il existe au moins un point $c \in ]a,b[$ tel que : $$ f(b) – f(a) = f'(c)(b-a) $$
Géométriquement, cela signifie qu’il existe un point sur la courbe où la pente de la tangente est égale à la pente de la corde joignant les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.