Déterminer la Base et la Dimension de la Somme de Deux Sous-Espaces
La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F+G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui peuvent s’écrire comme la somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de $G$. C’est le plus petit sous-espace vectoriel qui contient à la fois $F$ et $G$.
La méthode pour trouver une base de $F+G$ est très directe si l’on connaît des familles génératrices de $F$ et $G$.
- Prendre les familles génératrices : Soit $\mathcal{B}_F = (u_1, \dots, u_p)$ une famille génératrice de $F$ et $\mathcal{B}_G = (v_1, \dots, v_q)$ une famille génératrice de $G$.
- Concaténer les familles : La famille $\mathcal{C} = (u_1, \dots, u_p, v_1, \dots, v_q)$, obtenue en réunissant les deux familles, est une famille génératrice de $F+G$.
- Extraire une base : Cette famille $\mathcal{C}$ est souvent liée. On applique la méthode de l’échelonnement (Pivot de Gauss) sur la matrice formée par les vecteurs de $\mathcal{C}$ pour en extraire une base. Le nombre de vecteurs dans la base finale donne la dimension de $F+G$.
Exemple 1 : Somme de deux droites dans $\mathbb{R}^3$
Soit $F = \text{Vect}(u_1)$ et $G = \text{Vect}(v_1)$ avec $u_1=(1, 2, 0)$ et $v_1=(0, 1, 1)$.
1. Concaténer les bases : Une famille génératrice de $F+G$ est $(u_1, v_1) = ((1,2,0), (0,1,1))$.
2. Extraire une base : On forme la matrice et on vérifie son rang.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Cette matrice est déjà échelonnée et a un pivot dans chaque colonne. Le rang est 2.
Conclusion : La famille $(u_1, v_1)$ est libre. C’est donc une base de $F+G$.
$\text{dim}(F+G) = 2$. Géométriquement, la somme de deux droites non colinéaires est un plan.
Exemple 2 : Somme de deux plans dans $\mathbb{R}^4$
Soit $F = \text{Vect}(u_1, u_2)$ et $G = \text{Vect}(v_1, v_2)$ avec $u_1=(1,0,1,0)$, $u_2=(0,1,1,1)$, $v_1=(1,1,2,1)$ et $v_2=(1,-1,0,-1)$.
1. Famille génératrice de $F+G$ : C’est $(u_1, u_2, v_1, v_2)$.
2. On forme la matrice et on l’échelonne :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – L_2$, $L_4 \leftarrow L_4 – L_2$
$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
3. On identifie les pivots : Ils sont dans les colonnes 1 et 2.
Conclusion : Une base de $F+G$ est formée par les vecteurs originaux correspondants, c’est-à-dire $(u_1, u_2)$.
On a $\text{dim}(F+G) = 2$. On remarque que $v_1=u_1+u_2$ et $v_2=u_1-u_2$, donc $G$ est inclus dans $F$. Par conséquent, $F+G=F$.
Exemple 3 : Somme de deux plans dans $\mathbb{R}^3$
Soit $F = \text{Vect}((1,0,0), (0,1,0))$ (le plan $z=0$) et $G = \text{Vect}((0,0,1), (0,1,1))$.
1. Famille génératrice de $F+G$ : $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,1,1))$.
2. Matrice et échelonnement :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
La matrice est déjà échelonnée.
3. Pivots : Il y a des pivots dans les colonnes 1, 2 et 3.
Conclusion : Une base de $F+G$ est $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$, qui est la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
$\text{dim}(F+G) = 3$. La somme de ces deux plans est l’espace $\mathbb{R}^3$ tout entier.
La formule de Grassmann est votre meilleure amie pour vérifier vos résultats :
$\text{dim}(F+G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G) – \text{dim}(F \cap G)$
Si la somme des dimensions de la somme et de l’intersection n’est pas égale à la somme des dimensions de $F$ et $G$, vous avez fait une erreur de calcul quelque part !
Un cas particulier important est la somme directe ($F \oplus G$), qui se produit lorsque $F \cap G = \{0\}$. Dans ce cas, la formule devient :
$\text{dim}(F \oplus G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G)$.