Déterminer le Rang d’une Application à Partir de sa Matrice
Le rang d’une application linéaire $f: E \to F$, noté $\text{rang}(f)$, est la dimension de son espace image $\text{Im}(f)$. Il représente le nombre de « dimensions » de l’espace d’arrivée qui sont effectivement atteintes par la transformation. La méthode la plus directe pour le calculer passe par l’étude de la matrice de l’application.
Le rang d’une application linéaire est égal au rang de sa matrice dans n’importe quelle base.
$\text{rang}(f) = \text{rang}(A)$
Le rang de la matrice $A$ est le nombre de pivots obtenus après l’avoir échelonnée par la méthode du pivot de Gauss. C’est aussi la dimension de l’espace engendré par ses vecteurs colonnes (ou ses vecteurs lignes).
Exemple 1 : Matrice carrée
Soit $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$.
On échelonne la matrice $A$ pour trouver son rang.
$L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & -6 & -6 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 + L_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
La matrice échelonnée a deux pivots (sur les deux premières lignes).
Conclusion : $\text{rang}(A) = 2$, donc $\text{rang}(f) = 2$.
Exemple 2 : Matrice non carrée
Soit $g: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ l’application linéaire de matrice :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.
On échelonne la matrice :
$L_3 \leftarrow L_3 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – L_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
On trouve également deux pivots.
Conclusion : $\text{rang}(g) = 2$. L’image de $g$ est un plan dans l’espace d’arrivée $\mathbb{R}^3$.
Exemple 3 : Application définie par une formule
Soit $h: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $h(x,y,z) = (x+y, y+z, x-z)$.
1. Trouver la matrice de $h$ dans la base canonique :
$h(1,0,0) = (1,0,1)$
$h(0,1,0) = (1,1,0)$
$h(0,0,1) = (0,1,-1)$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.
2. Calculer le rang de A :
$L_3 \leftarrow L_3 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 + L_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
La matrice a deux pivots.
Conclusion : $\text{rang}(h) = 2$.
Le rang est une information cruciale qui, grâce au théorème du rang ($\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \text{rang}(f)$), nous renseigne sur l’injectivité et la surjectivité de $f: E \to F$.
- $f$ est injective si et seulement si $\text{rang}(f) = \dim(E)$.
- $f$ est surjective si et seulement si $\text{rang}(f) = \dim(F)$.
- $f$ est bijective (un isomorphisme) si et seulement si $\dim(E)=\dim(F)$ et $\text{rang}(f) = \dim(E)$.