Déterminer si un Endomorphisme est Nilpotent
Un endomorphisme $f$ est dit nilpotent s’il existe une puissance entière $k$ pour laquelle l’application devient l’application nulle. C’est une notion fondamentale dans la réduction des endomorphismes, notamment pour la décomposition de Dunford et la réduction de Jordan.
Un endomorphisme $f$ d’un espace $E$ est nilpotent s’il existe un entier $k \ge 1$ tel que $f^k = 0$. Le plus petit de ces entiers est appelé l’indice de nilpotence.
Pour une matrice carrée $A$, les critères suivants sont équivalents :
- $A$ est nilpotente.
- La seule valeur propre de $A$ (dans $\mathbb{C}$) est 0.
- Son polynôme caractéristique est $\chi_A(X) = (-X)^n$.
- Son polynôme minimal est de la forme $\mu_A(X) = X^k$ pour un certain $k$.
- Sa trace et toutes les traces de ses puissances sont nulles : $\text{tr}(A^p)=0$ pour tout $p \ge 1$.
Exemple 1 : Test par Calcul Direct
Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
C’est une matrice triangulaire supérieure stricte, ce qui est un signe de nilpotence. Calculons ses puissances :
$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Comme $A^3=0$, la matrice est nilpotente d’indice 3.
Exemple 2 : Test par le Polynôme Caractéristique
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Le test le plus efficace est le polynôme caractéristique.
$\chi_A(X) = \det(A-XI) = \det\begin{pmatrix} 1-X & -1 & 1 \\ 1 & -1-X & 1 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix}$.
On développe par rapport à la dernière ligne :
$\chi_A(X) = -X \cdot \det\begin{pmatrix} 1-X & -1 \\ 1 & -1-X \end{pmatrix} = -X [ (1-X)(-1-X) – (-1)(1) ]$
$\chi_A(X) = -X [ -(1-X^2) + 1 ] = -X [ -1+X^2+1 ] = -X(X^2) = -X^3$.
Le polynôme caractéristique est bien de la forme $(-X)^3$.
Conclusion : La matrice est nilpotente.
Exemple 3 : Contre-exemple avec la trace
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Calculons la trace : $\text{tr}(A) = 1 + (-1) = 0$.
La trace est nulle, mais est-ce suffisant ? Non.
Calculons le polynôme caractéristique :
$\chi_A(X) = \det\begin{pmatrix} 1-X & 0 \\ 0 & -1-X \end{pmatrix} = (1-X)(-1-X) = X^2-1$.
Le polynôme n’est pas $(-X)^2$. Les valeurs propres sont 1 et -1, qui ne sont pas nulles.
Conclusion : La matrice n’est pas nilpotente. Le critère $\text{tr}(A)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.
Un endomorphisme nilpotent est un cas extrême de non-diagonalisabilité.
- La seule valeur propre étant 0, si un endomorphisme nilpotent $f$ était diagonalisable, sa matrice dans une base de vecteurs propres serait la matrice nulle.
- Par conséquent, un endomorphisme nilpotent est diagonalisable si et seulement si c’est l’endomorphisme nul.
- Toute matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) avec des zéros sur la diagonale est nilpotente.