Déterminer une base à partir d’une famille génératrice
Une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel $F$ est une collection de vecteurs qui permet de « construire » tous les autres vecteurs de $F$. Cependant, cette famille peut contenir des redondances (des vecteurs qui sont des combinaisons linéaires des autres). Pour obtenir une base, il faut « nettoyer » cette famille pour ne garder que des vecteurs linéairement indépendants.
La méthode la plus robuste consiste à utiliser le pivot de Gauss sur la matrice formée par les vecteurs de la famille.
- Construire la matrice : On dispose les vecteurs de la famille génératrice en colonnes dans une matrice $A$.
- Échelonner la matrice : On applique l’algorithme du pivot de Gauss sur les lignes de $A$ pour obtenir une matrice échelonnée $A’$.
- Identifier les pivots : On repère les colonnes de la matrice échelonnée $A’$ qui contiennent un pivot.
- Extraire la base : Les vecteurs de la matrice de départ $A$ correspondant aux colonnes où l’on a trouvé un pivot forment une base du sous-espace.
Exemple 1 : Une famille liée dans $\mathbb{R}^3$
Soit $F = \text{Vect}(v_1, v_2, v_3)$ avec $v_1=(1, 2, 3)$, $v_2=(1, 0, -1)$ et $v_3=(1, 4, 7)$.
1. On forme la matrice $A$ : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$.
2. On échelonne la matrice :
$L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 – 3L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 – 2L_2$
$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
3. On identifie les pivots : Les pivots sont dans les colonnes 1 et 2.
4. On conclut : Une base de $F$ est formée par les vecteurs originaux correspondants, c’est-à-dire $(v_1, v_2)$.
On a $\text{dim}(F)=2$. On peut vérifier que $v_3 = 2v_1 – v_2$, ce qui confirme qu’il était bien redondant.
Exemple 2 : Une famille génératrice de $\mathbb{R}^4$
Soit $F = \text{Vect}(v_1, v_2, v_3, v_4)$ avec $v_1=(1,1,0,1)$, $v_2=(2,1,1,1)$, $v_3=(-1,0,-1,0)$ et $v_4=(0,1,0,1)$.
1. Matrice $A$ : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Échelonnement :
$L_2 \leftarrow L_2 – L_1$, $L_4 \leftarrow L_4 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 + L_2$, $L_4 \leftarrow L_4 – L_2$
$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
3. Pivots : Dans les colonnes 1, 2 et 4.
4. Conclusion : Une base de $F$ est $(v_1, v_2, v_4)$. La dimension de $F$ est 3.
Exemple 3 : Une famille déjà libre
Soit $F = \text{Vect}(v_1, v_2)$ dans $\mathbb{R}^3$ avec $v_1=(1,0,0)$ et $v_2=(0,1,1)$.
1. Matrice $A$ : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Échelonnement :
$L_3 \leftarrow L_3 – L_2$
$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
3. Pivots : Dans les colonnes 1 et 2.
4. Conclusion : La méthode sélectionne les vecteurs $(v_1, v_2)$. La famille de départ était déjà une base de $F$. La dimension est 2.
- Pourquoi les vecteurs de $A$ ? Les opérations sur les lignes changent le sous-espace engendré par les lignes, mais préservent les relations de dépendance linéaire entre les colonnes. C’est pourquoi il est crucial de revenir aux vecteurs originaux.
- Rang : Le nombre de vecteurs dans la base extraite est égal au nombre de pivots, qui est le rang de la famille de vecteurs (et le rang de la matrice A).
- Non-unicité : La base extraite n’est pas unique. Si on avait mis les vecteurs dans un autre ordre dans la matrice, on aurait pu obtenir une autre base. Cependant, le nombre de vecteurs dans la base (la dimension) sera toujours le même.