Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$.
- On appelle mineur relatif au coefficient $a_{ij}$, noté $\Delta_{ij}$, le déterminant de la matrice d’ordre $n-1$ obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de $A$.
- Le cofacteur de $a_{ij}$ est le scalaire $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$.
- La comatrice de $A$, notée $com(A)$, est la matrice dont le coefficient $(i,j)$ est le cofacteur de $a_{ij}$.
- La matrice adjointe de $A$, notée $\tilde{A}$, est la transposée de la comatrice : $\tilde{A} = {}^t(com(A))$.
Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$. Pour toute colonne $j \in \{1, \dots, n\}$, le déterminant de $A$ peut être calculé en utilisant la formule de développement suivante : $$ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij} $$
Remarque
Puisque $\det(A) = \det({}^t A)$, on peut également développer un déterminant par rapport à n’importe quelle ligne $i$ : $$ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij} $$
Démonstration (Esquisse)
La démonstration complète est assez technique et repose sur les deux lemmes suivants.
Si $A=(a_{ij})$ est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), son déterminant est simplement le produit de ses coefficients diagonaux : $$ \det(A) = \prod_{i=1}^{n} a_{ii} $$
Soit $M$ une matrice carrée d’ordre $n+p$ de la forme $M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$, où $A$ est carrée d’ordre $n$, $C$ est carrée d’ordre $p$, et $0$ est un bloc de zéros. Alors : $$ \det(M) = \det(A) \det(C) $$
Idée de la preuve du théorème : On fixe une colonne $j$. En utilisant la linéarité du déterminant par rapport à cette $j$-ème colonne $C_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i$, on décompose le déterminant de $A$ en une somme : $$ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \det(C_1, \dots, C_{j-1}, e_i, C_{j+1}, \dots, C_n) $$ Il reste à montrer que le déterminant $\det(C_1, \dots, e_i, \dots, C_n)$ est égal au cofacteur $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$. On le fait en ramenant par permutations de lignes et de colonnes le vecteur $e_i$ en position $(1,1)$, ce qui fait apparaître le mineur $\Delta_{ij}$ et le signe $(-1)^{i+j}$.