Soient $f$ une fonction définie au voisinage de zéro (sauf peut-être en 0) et $n \in \mathbb{N}^*$. On dit que $f$ admet un développement limité (D.L.) d’ordre n au voisinage de zéro s’il existe un polynôme $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ de degré au plus $n$ tel que : $$ f(x) = P(x) + x^n\epsilon(x) $$ où $\epsilon$ est une fonction qui tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0.
Le polynôme $P(x)$ est appelé la partie principale (ou partie régulière) du D.L. et $x^n\epsilon(x)$ est le reste.
Exemple
Pour $x \neq 1$, on a l’identité $1+x+\dots+x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{1}{1-x} – \frac{x^{n+1}}{1-x}$. On peut donc écrire : $$ \frac{1}{1-x} = 1+x+\dots+x^n + x^n \left(\frac{x}{1-x}\right) $$ Comme $\lim_{x \to 0} \frac{x}{1-x} = 0$, ceci est le D.L. d’ordre $n$ de la fonction $x \mapsto \frac{1}{1-x}$ au voisinage de 0.
Si une fonction $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ au voisinage de 0, alors ce développement est unique.
Si une fonction $f$ est de classe $C^n$ sur un voisinage de 0, alors elle admet un développement limité d’ordre $n$ au voisinage de 0, donné par la formule de Taylor-Young : $$ f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f »(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + x^n\epsilon(x) $$
Remarques
- La formule de Taylor-Young requiert que $f^{(n)}(0)$ existe, alors qu’une fonction peut admettre un D.L. d’ordre $n$ sans être $n$ fois dérivable en 0. Par exemple, $f(x) = x^3 \ln|x|$ admet un D.L. d’ordre 2 en 0 ($f(x) = 0 + 0x + 0x^2 + x^2(x\ln|x|)$) mais n’est même pas définie en 0.
- Si $f$ est continue en 0, elle admet un D.L. d’ordre 1 si et seulement si elle est dérivable en 0. Par exemple, $f(x)=|x|$ n’admet pas de D.L. d’ordre 1 en 0.
- Si une fonction admet un D.L. d’ordre $\ge 1$ en 0, elle doit avoir une limite finie en 0.
Soit $f$ une fonction admettant un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de 0.
- Si $f$ est paire, sa partie principale ne contient que des monômes de degrés pairs.
- Si $f$ est impaire, sa partie principale ne contient que des monômes de degrés impairs.
Démonstration (cas pair)
Si $f(x) = P(x) + x^n\epsilon(x)$, alors $f(-x) = P(-x) + (-x)^n\epsilon(-x)$. Si $f$ est paire, $f(x)=f(-x)$. Par unicité du D.L., on doit avoir $P(x) = P(-x)$. Un polynôme qui vérifie cette identité est nécessairement un polynôme pair, c’est-à-dire que les coefficients de ses termes de degré impair sont nuls.