Développements limités usuels : formules essentielles

Les développements limités suivants, obtenus par la formule de Taylor-Maclaurin, sont fondamentaux pour les calculs de limites et d’équivalents. Dans toutes les formules, $\epsilon(x)$ désigne une fonction telle que $\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$.

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x)$
• $a^x = 1 + \frac{x\ln a}{1!} + \frac{(x\ln a)^2}{2!} + \dots + \frac{(x\ln a)^n}{n!} + x^n\epsilon(x)$
• $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + x^n\epsilon(x)$
• $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + x^n\epsilon(x)$
• $\frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – \dots + (-1)^n x^n + x^n\epsilon(x)$
• $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + x^n\epsilon(x)$
• $\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + x^{2n}\epsilon(x)$
• $\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + x^{2n+1}\epsilon(x)$