On considère les nombres \(a=2400\) et \(b=1350\).

1. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
2. Déterminer le nombre de diviseurs de a et b; puis pgcd (a,b) et ppcm (a,b).
3. Simplifier le nombre \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{ab}\).
4. Déterminer le plus petit entier naturel n non nul pour que \(n \times b\) soit un carré parfait.
5. Déterminer le plus petit naturel k non nul pour que le nombre \(k \times a\) soit un cube d’un entier naturel.
6. Montrer que \(a-b-911\) est un nombre premier.

Les questions sont indépendantes.

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres suivants: \((n+1)^{2}+(n+2)^{2}\); \(n^{3}-n+3\) et \(3n(n+1)^{2}\).
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que si n est un nombre impair alors \(n^{2}-1\) est un multiple de 8.
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que le nombre \(n^{4}-n^{2}+20\) est divisible par 4.
4. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer les valeurs possibles de n pour lesquels \(n+4\) divise \(n+16\).
5. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Vérifier que \(\frac{n+17}{n+5}=1+\frac{12}{n+5}\); puis déduire les valeurs possibles de n pour que \(\frac{n+17}{n+5} \in \mathbb{N}\).
6. Déterminer tous les couples \((x;y) \in \mathbb{N}^{2}\) tels que \(xy+4x-y=22\).
7. Déterminer le chiffre c pour que 76c2 soit divisible à la fois par 3 et 4.
8. Soient a et b deux entiers naturels premiers tels que \(a^{2}+a+b=184\). Montrer que \(b=2\).

ABCD est un parallélogramme de centre O et soit M un point du plan tel que \(\vec{MD}+\vec{MB} = 2\vec{AM}\).

1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\vec{MD}+\vec{MB}=2\vec{MO}\).
3. Déduire que M est le milieu du segment \([AO]\).
4. Soient N et K deux points du plan tel que \(\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{AB}\) et \(\vec{AK}=\frac{1}{2}\vec{AN}\).
   1. Construire les points K et N dans la figure précédente.
   2. Montrer que \(\vec{DM}=\frac{1}{4}\vec{AB}-\frac{3}{4}\vec{BC}\) et \(\vec{DK}=\frac{1}{3}\vec{AB}-\vec{BC}\).
   3. Déduire que les points D, M et K sont alignés.

Soit ABC un triangle et soient M et N tels que \(\vec{AM}=\frac{1}{4}\vec{AB}\) et \(\vec{AN}=-3\vec{AB}\). Soient E et F les projetés de M et N sur (AC) parallèlement à (BC) respectivement.

1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\vec{AE}=\frac{1}{4}\vec{AC}\) et \(\vec{AF}=-3\vec{AC}\).
3. Montrer que \(\vec{ME}=\frac{1}{4}\vec{BC}\) et \(\vec{NF}=-3\vec{BC}\).
4. Déduire que \(\frac{ME}{NF}=\frac{1}{12}\).

Partie I

1. Soit n un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants :
   \(A=6n^{2}+2018\) ; \(B=7n+3\) ; \(C=n^{2}+13n+7\).
2. Étudier la primalité des nombres suivants : 267; \(17^{2}\); 127.
3. On pose \(A=2 \times 19^{n+1}+10 \times 19^{n}\).
   1. Montrer que A est divisible par 48.
   2. Donner une décomposition du nombre A en produit de facteurs premiers.
4. Montrer que si d est un diviseur commun de m et n alors d divise \(m-n\).
5. Déduire que \(pgcd(n^{2}+5,n^{2}+4)=1\).

Partie II

1. Soient les deux nombres \(a=1200\) et \(b=5292\). Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
2. Déduire le pgcd(a,b) et le ppcm(a,b).
3. Simplifier les deux nombres \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{a \times b}\).

ABCD un parallélogramme de centre O, E et F deux points tel que: \(\vec{BF}=-\frac{2}{3}\vec{AB}\) et \(\vec{AE}=-\frac{1}{2}\vec{AD}\).

1. Construire une figure.
2. Montrer que \(\vec{EC}=\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AD}\) et \(\vec{CF}=-\frac{2}{3}\vec{AB}-\vec{AD}\).
3. Montrer que \(3\vec{FC}=2\vec{EC}\). Déduire que les points C, E et F sont alignés.
4. Montrer que \(\vec{EO}=\frac{1}{2}(\vec{ED}+\vec{EB})\).

On considère les nombres \(a = 3600\) et \(b = 3240\).

1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2. Déduire \(pgcd(a,b)\) et \(ppcm(a,b)\).
3. Est-ce que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux? Justifier votre réponse.
4. Le nombre \(a\) est-il un carré parfait ? Justifier la réponse.
5. Simplifier le nombre \(\frac{a}{b}\).
6. Déterminer le plus petit naturel \(n\) non nul pour que le nombre \(nb\) soit un cube d’un entier naturel.

I. Soit \(n \in \mathbb{N}\), étudier la parité des nombres suivants : \(A = 4n+7\) ; \(B = n(n+1)\) ; \(C = n^2+3n+2\).

II. Soit \(n \in \mathbb{N}\)

1. 1. vérifier que : \(n^2+5n+14 = (n+2)(n+3)+8\).
   2. Déduire que : \(\frac{n^2+5n+14}{n+3} = n+2 + \frac{8}{n+3}\).
2. Déterminer les valeurs de \(n\) tel que : \(\frac{n^2+5n+14}{n+3} \in \mathbb{N}\).

III. Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels tel que: \(m > n\).

1. Montrer que \(m-n\) et \(m+n\) sont la même parité.
2. Déterminer \(m\) et \(n\) tel que : \(m^2 – n^2 = 12\).

IV. Soit \(n \in \mathbb{N}\)

1. Montrer que le nombre \(N = 4 \times 5^{2n+1} – 479 \times 25^n\) est divisible par 2021.
2. Montrer que le nombre \(M = n^4 – n^2 + 16\) est un multiple de 4.
3. Le nombre 437 est-il premier ? Justifier la réponse.

\(ABC\) un triangle et soient \(M, N\) et \(Q\) trois points du plan tels que : \(\vec{AM} = \frac{3}{2}\vec{AB}\) ; \(\vec{AN} = 3\vec{AC}\) et \(\vec{CQ} = 2\vec{CB}\).

1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\vec{AQ} = 2\vec{AB} – \vec{AC}\).
3. Montrer que \(\vec{MN} = -\frac{3}{2}\vec{AB} + 3\vec{AC}\) et \(\vec{QN} = -2\vec{AB} + 4\vec{AC}\).
4. 1. Montrer que les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{QN}\) sont colinéaires.
   2. Déduire que les points M, N et Q sont alignés.
5. Soit \(J\) le milieu du segment \([AB]\). Montrer que \(\vec{MN} = 3\vec{CJ}\).

\(ABC\) un triangle et \(A’\) le milieu du segment \([AB]\) et \(D\) un point tel que : \(\vec{AD} = \frac{3}{4}\vec{AA’}\). \(E\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\). \(F\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\).

1. Construire les points \(D, E,\) et \(F\).
2. Montrer que : \(\vec{BE} = \frac{3}{4}\vec{BA}\) et \(\vec{CF} = \frac{3}{4}\vec{CA}\).
3. Déduire que \(A’\) le milieu du segment \([EF]\).