Le plan (P) étant muni d’un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

1. Les points \( A(6,3) \), B (1,1) et C(-4,-2) sont-ils alignés ? (justifier).
2. On considère la droite (D) d’équation cartésienne: \( 2x-3y+1=0 \). Donner une représentation paramétrique de la droite (D).
3. On considère les deux droites: \( (D_m): (2m-1)x-3my-2=0 \) (\( m \in \mathbb{R} \)) et \( (D’): x-3y+2=0 \). Déterminer m pour que les droites \( (D_m) \) et (D’) soient parallèles.
4. Déterminer le réel k pour que 2 soit une racine du polynôme: \( P(x)=3x^{3}-6x^{2}+(2+3k)x-2k \).
5. Déterminer les réels a, b et c tels que : \( x^{3}+2x^{2}-4x+1=(x-1)(ax^{2}+bx+c) \).

On considère le polynôme: \( P(x)=-x^{3}+2x^{2}+5x-6 \).

1. Montrer que le polynôme \( P(x) \) est divisible par \( x+2 \).
2. Déterminer le polynôme Q(x) tel que: \( P(x)=(x+2)Q(x) \).
3. 1. Montrer que 1 est une racine du polynôme \( Q(x) \).
   2. En déduire que: \( Q(x)=(x-1)(3-x) \).
4. On suppose que \( \frac{3}{2}
5. Montrer que: \( \frac{1}{4}
6. En déduire que \( \frac{5}{4} \) est une valeur approchée de \( Q(x) \) à la précision 1.

Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation: \( P(|x|)=0 \).

Le plan (P) étant muni d’un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). On considère les points \( A(1,1) \), \( B(2,-1) \) et le vecteur \( \vec{u}(1,1) \).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur \( \vec{u} \).
2. Soit la droite \( (\Delta) \) de représentation paramétrique : \( \begin{cases}x=t\\ y=-3+t\end{cases} (t\in \mathbb{R}) \). Montrer que les droites (D) et \( (\Delta) \) sont parallèles.
3. Soit \( (D’) \) la droite d’équation cartésienne: \( x-4y+3=0 \). Montrer que \( (D’) \) et \( (\Delta) \) sont sécantes en un point C dont on déterminera les coordonnées.
4. 1. Déterminer les coordonnées du point E tel que ABCE soit un parallélogramme.
   2. Vérifier que le point E appartient à la droite (D).

ABC est un triangle, R et S deux points tels que: \( \vec{BR}=2\vec{BC}+\vec{AB} \) et \( \vec{AS}=2\vec{AC}-3\vec{AB} \). On munit le plan du repère \( (A, \vec{AB}, \vec{AC}) \).

1. Déterminer les coordonnées de R et S.
2. Montrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.

Questions indépendantes

1. Simplifier: \( A(x)=\cos(\frac{17\pi}{2}-x)-\sin(x+3\pi)+\cos(\frac{3\pi}{2}-x)-\sin(13\pi-x) \)
2. Simplifier: \( B(x)=\frac{(\sin(x))^{2}-(\sin(x))^{4}}{(\cos(x))^{2}-(\cos(x))^{4}} \)
3. Montrer que: \( \cos^{2}(\frac{\pi}{5})+\cos^{2}(\frac{3\pi}{10})=1 \)
4. ABC un triangle isocèle de sommet A tel que : \( (\vec{BA};\vec{BC})\equiv\frac{\pi}{5}[2\pi] \). Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \( (\vec{AC};\vec{CB}) \).
5. Soit x un réel tel que \( \cos(x)\ne0 \).
   1. Montrer que : \( \sin^{2}(x)=\frac{\tan^{2}(x)}{1+\tan^{2}(x)} \)
   2. Calculer \( \sin(x) \) puis \( \cos(x) \) sachant que : \( \tan(x)=\frac{1}{3} \) et \( -\pi

Soit (U) un cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé \( (\mathcal{O};\vec{OA};\vec{\mathcal{OB}}) \), on considère les points E et F d’abscisse curviligne réceptive \( (-\frac{152\pi}{3}) \) et \( (\frac{460\pi}{6}) \).

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points E et F puis les représenter sur (U).
2. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des angles orientés \( (\vec{OE};\vec{OF}) \) puis \( (\vec{AE};\vec{AF}) \).
3. Montrer que la droite (OA) est une médiatrice du segment \( [EF] \) et déduire la nature du triangle AEF.

1. Recopier et compléter le tableau suivant d’une série statistique de 50 élèves qui prêtent des livres de la librairie scolaire durant une année scolaire:

   Nombre des livres \( x_{i} \)	Nombre des élèves \( n_{i} \)	La fréquence \( f_{i} \)	Le pourcentage \( p_{i} \)
   2	12
   3			40%
   5	7
   7		0,02
   10	3
   Total

2. Déterminer le mode et la médiane M de cette série statistique.
3. Calculer la moyenne arithmétique m de cette série statistique.
4. Quel est le pourcentage des élèves qui prêtent au moins 4 livres?
5. Calculer la variance V de cette série statistique.

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation: \( 2\sin(x)-\sqrt{3}=0 \).
2. Résoudre dans \( [-\pi;\pi] \) l’équation: \( 2\sin(2x)-\sqrt{3}=0 \) et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique (U).
3. Résoudre dans \( [-\pi;\pi] \) l’inéquation: \( 2\cos(x)-\sqrt{3}\le0 \).
4. Résoudre dans \( [0; 2\pi] \) l’inéquation: \( \sqrt{3}\tan(x)+3>0 \).

Dans un cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), on considère deux points A et B d’abscisses curvilignes respectives \( \frac{267\pi}{6} \) et \( \frac{-236\pi}{3} \).

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points A et B, puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
2. Déterminer l’abscisse curviligne principale de l’angle \( (\vec{OA}, \vec{OB}) \) puis déterminer le couple des coordonnées de chacun des points A et B dans le repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
3. Calculer \( \cos(x) \) sachant que \( \tan(x)=\frac{1}{3} \) et \( 5\pi

Soit \( x\in[0;\frac{\pi}{2}] \), on considère l’expression suivante: \( E=\cos^{2}(x)+\sin(3\pi-x)\sin(4\pi+x)+2\cos(\frac{5\pi}{2}+x)\cos(x) \).

1. Montrer que : \( E=1-2\sin(x)\cos(x) \).
2. Calculer E pour \( x=\frac{\pi}{4} \).
3. Montrer que : \( E=1-\frac{2\tan(x)}{1+\tan^{2}(x)} \).

Un enseignant rend les copies d’un devoir aux quinze élèves de sa classe. La liste des notes obtenues est la suivante: 18-15-7-6-18-14-7-15-15-6-15-14-6-15 et 6.

1. Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés.
2. Déterminer le mode et la médiane M de cette série.
3. Calculer la moyenne arithmétique de cette classe.
4. Calculer la variance V de cette classe.
5. Calculer l’écart-moyen e de cette classe.
6. Calculer la fréquence f et le pourcentage p des élèves qui n’ont pas de moyenne.

Soit \( x\in\mathbb{R} \), on considère l’expression suivante : \( f(x)=4\cos^{2}(x)+2\sin^{2}(x)-5\cos(x) \).

1. Calculer \( f(0) \), \( f(\pi) \) et \( f(\frac{2015\pi}{3}) \).
2. Montrer que: pour tout \( x\in\mathbb{R} \), \( f(x)=(2\cos(x)-1)(\cos(x)-2) \).
3. Résoudre dans \( \mathbb{R} \), puis dans \( ]0;2\pi] \) l’équation : \( f(x)=0 \).
4. Résoudre dans \( ]-\pi;\pi] \) l’inéquation: \( 2\cos(x)-1\le0 \). (la construction est obligatoire)

Questions indépendantes

1. Ecrire la forme canonique du trinôme : \( f(x)=3x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{4} \).
2. Trouver deux réels sachant que leur somme est 5 et leur produit est 84.
3. Résoudre dans \( \mathbb{R}^{2} \) le système \( \begin{cases} 5x-3y=1 \\ 7x+2y=20 \end{cases} \). En déduire les solutions du système \( \begin{cases} 5\sqrt{x}-3|y-1|=1 \\ 7\sqrt{x}+2|y-1|=20 \end{cases} \).
4. Donner une équation cartésienne de la droite (D) définie par: \( \begin{cases} x=-3+2k \\ y=2-3k \end{cases} \).
5. Déterminer les valeurs du paramètre réel m tels que les vecteurs \( \vec{u}(2m-3,-2) \) et \( \vec{v}(4,2m+3) \) soient colinéaires.
6. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’inéquation: \( \frac{2x-1}{x-1}<\frac{3}{x+1} \).

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \( (O,\vec{i},\vec{j}) \). On considère les points \( A(1,3) \), \( B(3,5) \) et \( C(5,3) \).

1. Montrer que les points A, B et C sont non alignés.
2. Montrer que \( x-y-2=0 \) est une équation cartésienne de la droite (D) passante par le point C et parallèle à la droite (AB).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\( \Delta \)) passante par le point A et dirigée par le vecteur \( \vec{BC} \).
4. 1. Montrer que les droites (D) et (\( \Delta \)) se coupent en un point I.
   2. Déterminer les coordonnées du point I.
5. Soit (L) la droite d’équation : \( mx-(m-3)y+2=0 \), où \( m \in \mathbb{R} \). Déterminer m pour que les droites (L) et (D) soient perpendiculaires.

On considère le polynôme: \( P(x)=2x^{3}-x^{2}-7x+6 \).

1. 1. Vérifier que (-2) est une racine de \( P(x) \).
   2. Trouver le polynôme \( Q(x) \) tel que \( P(x)=(x-1)Q(x) \).
2. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation: \( 2x^{2}-5x+3=0 \), puis résoudre l’équation: \( P(x)=0 \).
3. 1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’inéquation: \( P(x)\le0 \).
   2. En déduire les solutions de l’inéquation: \( 2(3x-5)^{3}-7(3x-5)\le(3x-5)^{2}-6 \).