Soit x un nombre réel tel que \(x \ne 1\).

1. 1. Vérifier que \(\frac{1}{1-x}-(1+x)=\frac{x^{2}}{1-x}\).
   2. Montrer que si \(|x|<\frac{1}{2}\) alors \(\frac{1}{|1-x|}<2\).
   3. En déduire \(|\frac{1}{1-x}-(1+x)| \le 2x^{2}\).
2. Déduire une valeur approchée du nombre \(\frac{1}{0,99}\) à \(2 \times 10^{-4}\) près (on pourra poser x = 0,01).

1. Soient a et b deux nombres réels strictement négatifs. Comparer \(x=\frac{a}{b}-1\) et \(y=1-\frac{b}{a}\).
2. Calculer \((2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}\), puis simplifier \(A=\sqrt{30-12\sqrt{6}}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(|2x+2|=4\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(|-3x+7|\le2\).
5. Soient a et b deux éléments de \(\mathbb{R}\) tels que: \(|a-2|<1\) et \(-1
6. Vérifier que \(1
7. Encadrer \(a+b\) puis \(ab\).
8. Déduire une comparaison de \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) et \(a+b\).

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On considère les deux points \(A(1;1)\) et \(B(2;-1)\), et on pose: \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}\).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur \(\vec{u}\).
2. Soit \((\Delta)\) la droite dont une représentation paramétrique est : \(\begin{cases}x=t\\ y=-3+t\end{cases} ; (t \in \mathbb{R})\). Montrer que \((\Delta)\) est parallèle à (D).
3. Soit \((D’)\) la droite d’équation: \(x-4y+3=0\). Montrer que \((\Delta)\) et \((D’)\) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection C.
4. 1. On considère le point E tel que ABCE est un parallélogramme. Déterminer les coordonnées du point E.
   2. Vérifier que E appartient à la droite (D).

Soient ABCD un parallélogramme, et J un point du plan tel que \(\vec{AJ}=\frac{2}{3}\vec{AC}\).

1. Construire le point E, projeté de J sur (BC) parallèlement à (AB).
2. Montrer que \(\vec{BE}=\frac{2}{3}\vec{BC}\).
3. Déduire que \(3\vec{CE}=\vec{CB}\).

1. Comparer \(a=\sqrt{6}\) et \(b=\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\).
2. Calculer et simplifier: \(A=\frac{4\times10^{-8}+0.000005}{66\times10^{-6}-20\times10^{-7}}\) puis donner l’écriture scientifique de A.
3. Soit \(I=[-5;+\infty[\) et \(J=[3;20[\), déterminer \(I\cap J\) et \(I\cup J\).
4. Factoriser: \(A=x^{3}-1+(x-1)(-2-5x)+2(x^{2}-1)\).

Soit x et y deux réels tels que \(x\ge\frac{1}{2}\), \(y\le1\) et \(x-y=3\).

1. Calculer \(E=\sqrt{(2x-1)^{2}}+\sqrt{(2y-2)^{2}}\).
2. Montrer que \(\frac{1}{2}\le x\le4\) et \(\frac{-5}{2}\le y\le1\).
3. Calculer \(F=|x+y-5|+|x+y+2|\).

Soient a et b deux réels tels que : \(1\le\sqrt{2a+3}\le2\) et \(-2\le4-3b\le1\).

1. Montrer que: \(-1\le a\le\frac{1}{2}\) et \(1\le b\le2\).
2. Montrer que: \(-2\le ab\le1\).
3. En déduire que: \(|2ab+1|\le3\).

Soient a, b et c des réels strictement positifs.

1. Montrer que: \(\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\).
2. Montrer que: \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\le\frac{a+b+c}{2}\).

Montrer que \(\sqrt{n^{2}+2n} \notin \mathbb{N}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\).

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Soient \(A(-2,1)\) et \(B(2,4)\) deux points du plan.

1. Donner l’équation cartésienne de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur \(\vec{v}(5,2)\).
2. Soit \((D’)\) la droite définie par l’équation cartésienne suivante: \(y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\). Vérifier que (D) et \((D’)\) sont sécantes en déterminant leur point d’intersection.
3. Soit m un paramètre réel. On considère la droite \((D_{m}):(m-1)x-2my+3=0\).
   1. Déterminer la valeur de m pour que \((D_{m})\) soit parallèle à \((D’)\).
   2. Déterminer la valeur de m pour que B soit un point de \((D_{m})\).
   3. Vérifier que \(C(3,\frac{3}{2})\) appartient à toutes les droites \((D_{m})\).

Les questions sont indépendantes.

1. Donner l’intervalle ou la réunion d’intervalles auquel appartient le réel x dans chaque cas : \(|x-2|\le6\) ; \(x\in[-5;\frac{7}{3}]\cap]-2;+\infty[\) ; \(\sqrt{(2-3x)^{2}}\ge1\).
2. Soient x et y deux nombres réels tels que : \(y\in[-1;\frac{1}{2}]\) et \(\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}\).
   1. Montrer que \(\frac{1}{25}\le\frac{x}{3-2y}\le\frac{1}{8}\).
   2. Montrer que \(\frac{9}{2}\) est une valeur approchée de \(\frac{1}{x}\) à 0.5 près.
3. Soient x et y deux nombres réels strictement positifs. Comparer A et B tel que \(A=\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) et \(B=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\).
4. Compléter par l’un des symboles suivants : \(\in\) ou \(\notin\).
   \(\sqrt{7}…[1;\sqrt{7}[\) ; \(4…[3;\frac{9}{2}]\) ; \(-4…] -\infty;-5]\) ; \(2022….\mathbb{R}\)
5. Simplifier :
   \(A=\frac{(3^{2}\times11^{5})^{-2}}{(3^{4}\times11^{2})^{3}}\times\frac{33^{15}}{3^{2}\times11^{-1}}\) et \(B=\sqrt{\frac{1}{10-3\sqrt{11}}+\frac{1}{10+3\sqrt{11}}}\).
6. Montrer que \((9+\sqrt{5})^{3}+(9-\sqrt{5})^{3}=12\).
7. Factoriser l’expression: \(A=x^{3}-125+2x(x-5)\).
8. Développer l’expression: \(D=(x+1)^{3}-x(x^{2}-3)\).

On pose \(A=x+y-6xy\) où x et y sont deux éléments de l’intervalle \([0;\frac{1}{3}]\).

1. Montrer que \(-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}-3x\le\frac{1}{2}\) et \(-\frac{1}{3}\le2y-\frac{1}{3}\le\frac{1}{3}\).
2. Vérifier que \(|A-1|=|\frac{1}{2}-3x||2y-\frac{1}{3}|\).
3. Déduire que \(A\in[0;\frac{1}{3}]\).

Le plan est rapporté à un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On considère les droites (D): \(3x+2y+1=0\) et \((\Delta): \begin{cases}x=1-2t\\ y=3+\frac{1}{2}t\end{cases} (t \in \mathbb{R})\).

1. Donner une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) et une représentation paramétrique de (D).
2. Montrer que \((\Delta)\) et (D) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
3. Donner une équation cartésienne de la droite \((D’)\) passant par \(A(1;3)\) et parallèle à (D).
4. Déterminer les valeurs du paramètre réel m pour lesquelles la droite \((\Delta’):mx+(5-3m)y-2=0\) est parallèle à \((\Delta)\).

1. Montrer que : \(\sqrt{2\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-7}{5\sqrt{2}+7}}+5\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}} \in \mathbb{N}\) et \(\frac{3 \times 9^{n+1} \times 5^{2n} – 5 \times 3^{2n} \times 25^n}{3 \times 5^{2n+1} – 9^n \times 5} \in \mathbb{N}\).
2. Soit a et b deux nombres réels positifs tel que \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{5}\).
   1. Montrer que \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\).
   2. Calculer \(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\) et \(\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\).
3. a et b deux nombres de \(\mathbb{R}\) ; on pose \(F=\frac{a^{-2}b^{-3}(ab^{2})^{3}+a^{3}b}{a^{2}+b^{2}}\).
   1. Simplifier F.
   2. Donner l’écriture scientifique de F en cas de \(a=10000\) et \(b=0.04\).
4. a, b, c des nombres réels.
   1. Comparer \(\frac{a+b}{2}\) et \(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\).
   2. En déduire que \(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}\ge a+b+c\).

1. x et y deux nombres réels tels que: \(-3\le y\le5\) et \(2\le x\le4\). Encadrer \(x+y\); \(x-y\); \(xy\); \(y^{2}\); \(2x-3y\).
2. x et y deux nombres réels strictement positifs ; Montrer que \(\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{y}{\sqrt{y}}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\).
3. Soient les intervalles \(I=[-3;7[\), \(J=]-\infty; 5[\) et \(K=]2;+\infty[\). Donner \(I\cap J\), \(I\cup J\), \(I\cap J\cap K\) et \(I\cup J\cup K\).

Soit x un nombre réel de l’intervalle \(]0, \frac{1}{4}[\).

1. Montrer que: \(0 < \frac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} < \frac{1}{4}\).
2. Vérifier que: \(\frac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x=\frac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1\).
3. En déduire que: \(1+x < \frac{1+x\sqrt{x}}{1-x} < \frac{5}{4}+x\).
4. D’après ce qui précède, déterminer une valeur approchée par excès de \(\frac{1+0.2\sqrt{0.2}}{0.8}\) à 0.25 près.

Soient a, b et c des nombres réels.

1. Comparer \(a^{2}+b^{2}\) et 2ab.
2. En déduire que \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge ab+bc+ca\).

1. Factoriser: \(A=(5x+1)^{2}-(3-2x)^{2}\) et \(B=8x^{3}+27\) et \(C=x^{6}-6\sqrt{3}x^{3}+27\).
2. Développer: \(D=(3x+5)^{3}+3(2x-1)^{2}+4(2x-\sqrt{2})(\sqrt{2}+2x)\).
3. Soit n un nombre entier naturel non nul.
   1. Vérifier que \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\).
   2. Calculer: \(S = \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+…+\frac{1}{99\times100}\).

1. On considère les nombres suivants : \(x=\sqrt{17-12\sqrt{2}}\) et \(y=\sqrt{17+12\sqrt{2}}\).
   1. Montrer que \(xy=1\).
   2. Calculer \((x+y)^{2}\) et \((x-y)^{2}\).
   3. Déterminer le signe de \(x+y\) et \(x-y\).
   4. Déterminer la valeur de \(x+y\) et \(x-y\).
   5. En déduire la valeur de x et y.
2. Soient a et b des nombres réels tels que \(a+b=2\) et \(a^{2}+b^{2}=8\). Calculer ab et \(a^{3}+b^{3}\).
3. Soit x un nombre réel différent de 1 et 2. Calculer: \(A=\frac{-2}{x-1}-\frac{1-\frac{1}{x-2}}{1+\frac{1}{x-2}}\).

1. Soient x et y deux nombres réels tels que : \(y\ge\frac{3}{2}\), \(x\le\frac{1}{2}\) et \(x-2y=-5\). On pose \(A=\sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}+2x(x-1)}\) et \(B=\sqrt{4y^{2}+(2y-3)^{2}+4y(2y-3)}\).
   1. Montrer que \(A=\sqrt{(2x-1)^{2}}\) et \(B=\sqrt{(4y-3)^{2}}\).
   2. Déterminer la valeur numérique du nombre suivant \(E=A+B\).
   3. Montrer que \(-2\le x\le\frac{1}{2}\) et \(\frac{3}{2}\le y\le\frac{11}{4}\).
   4. Encadrer \(x+y\), \(x-y\), \(xy\) et \(x^{2}+y^{2}\).
   5. Déterminer la valeur numérique du nombre suivant \(|x+y+\frac{1}{2}|+|x+y-\frac{13}{4}|\).
2. On considère les intervalles \(I=[-2;2[\) et \(J=]-4;2]\). Déterminer \(I\cap J\) et \(I\cup J\).

Soit \(\forall x\in\mathbb{R}^{+}\), on pose \(Y=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\).

1. Montrer que \(Y-1=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}\).
2. Montrer que \(\sqrt{1+x^{2}}+1\ge2\).
3. En déduire que \(|Y-\frac{1}{x}|\le\frac{1}{2}|x|\).

ABCD un parallélogramme de centre O. M et P deux points tels que : \(\vec{BP}=\frac{1}{3}\vec{BD}\) et P le milieu du segment [MC].

1. Construire la figure.
2. Montrer que: \(\vec{AM}=2\vec{OP}\) et en déduire que \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{DB}\).
3. Soit H le projeté du point M sur la droite (AB) parallèlement à (BC).
   1. Montrer que \(\vec{AH}=\frac{1}{3}\vec{AB}\).
   2. Montrer que \(\frac{AH}{AB}=\frac{OP}{OB}\).
   3. En déduire que les droites (AC) et (HP) sont parallèles.