Questions indépendantes

1. Étudier la parité des fonctions suivantes définies par :
   1. \(f(x)=x^{2}-|x|-1\)
   2. \(g(x)=\frac{-x^{3}}{\sqrt{1-|x|}}\)
   3. \(h(x)=2\sqrt{x^{2}-1}\)
2. Déterminer \(D_{f}\), le domaine de définition de la fonction réelle f, dans chacun des cas suivants :
   1. \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-3}\)
   2. \(f(x)=\frac{x}{2x^{2}-5x+2}\)
   3. \(f(x)=\frac{2}{x^{2}-|x|}\)
3. Soit g la fonction réelle définie par: \(g(x)=\frac{3}{x^{2}+2}\).
   Montrer que le nombre \(\frac{3}{2}\) est une valeur maximale de g sur \(\mathbb{R}\).

Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par : \(f(x)=x^{2}+4x+3\). \((C_{f})\) est la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).

1. Déterminer les points d’intersection de \((C_{f})\) et les axes du repère.
2. 1. Étudier les variations de f sur chacun des intervalles \(]-\infty;-2]\) et \([-2;+\infty[\).
   2. En déduire le tableau de variations de f.
3. Tracer la courbe \((C_{f})\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
4. 1. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\ge0\).
   2. Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=3\) coupe \((C_{f})\) aux points \(A(0;3)\) et \(B(-4;3)\) et résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)<3\).

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\). On considère la fonction réelle g définie par: \(g(x)=\frac{2x+1}{x-1}\). Soit \((C_{g})\) sa courbe dans ce plan.

1. Déterminer \(D_{g}\) le domaine de définition de g.
2. Étudier les variations de g, puis dresser son tableau de variations.
3. Déterminer les points d’intersection de \((C_{g})\) et les axes du repère.
4. Tracer la courbe \((C_{g})\).
5. 1. Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)<0\).
   2. Montrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=x-1\) coupe \((C_{g})\) en deux points \(M(4;3)\) et \(N(0;-1)\).
   3. Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\ge x-1\).

QUESTIONS INDÉPENDANTES

1. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
   1. \(f(x)=3-\sqrt{2-x}\)
   2. \(g(x)=\sqrt{x^{2}-1}\)
   3. \(h(x)=\frac{x}{x^{2}-x-6}\)
2. Étudier la parité de la fonction f dans chacun des cas suivants :
   1. \(f(x)=x^{3}+2x|x|\)
   2. \(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\)
   3. \(f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}\)
3. Soit h la fonction numérique définie par: \(h(x)=x+\frac{1}{x}\)
   1. Calculer les images des nombres suivants: 1; \(\sqrt{2}\); 2; \(-\sqrt{2}\)
   2. Montrer que 2 est une valeur minimale pour h dans l’intervalle \(I=]0;+\infty[\)

Soit g la fonction numérique définie par: \(g(x)=x^{2}-3x+\frac{5}{4}\) et soit (Cg) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).

1. Déterminer les points d’intersection de (Cg) avec l’axe des abscisses.
2. Vérifier que pour tout réel x de Dg on a: \(g(x)=(x-\frac{3}{2})^{2}-1\).
3. Déterminer les variations de g sur les intervalles \(]-\infty,\frac{3}{2}]\) et \([\frac{3}{2},+\infty[\).
4. Tracer la courbe (Cg).
5. Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\ge0\).
6. Déterminer le nombre de solutions de l’équation \(g(x)=m\) graphiquement. (Discuter suivant les valeurs du paramètre m).

On considère la fonction f définie par: \(f(x)=\frac{2x-1}{x+1}\) et soit \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).

1. Déterminer \(D_{f}\) domaine de définition de f et vérifier que pour tout x de \(D_{f}\): \(f(x)=2-\frac{3}{x+1}\).
2. Déterminer les points d’intersection de \((C_{f})\) avec les axes du repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
3. Étudier les variations de f sur les intervalles \(]-\infty,-1[\) et \(]-1,+\infty[\) et dresser son tableau de variation.
4. Tracer la courbe \((C_{f})\).

Sur le cercle trigonométrique (C) de centre O et d’origine I, on considère les points suivants: \(A(\frac{2022\pi}{3})\), \(B(\frac{1443\pi}{2})\), \(E(\frac{2971\pi}{6})\) et \(D(-\frac{2021\pi}{4})\).

1. Trouver les abscisses principales des points A, B, E et D.
2. Placer les points A, B, E et D sur le cercle trigonométrique (C).
3. Soit \(\alpha\) une abscisse curviligne telle que \(\alpha \in [0;\frac{\pi}{2}]\) et \(\tan\alpha = \sqrt{5}\). Calculer \(\cos\alpha\).
4. Soit x un nombre réel tel que: \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(-\frac{\pi}{2}
5. Colorier en vert, sur le cercle, l’arc qui représente l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\).
6. Calculer \(\cos x\) puis en déduire la valeur de \(\tan x\).

Simplifier les expressions suivantes: (x est un nombre réel)

• \(A=\cos x+\cos(\pi-x)+\cos(-x)+\cos(\pi+x)\)
• \(B=\sin x+\cos(\frac{\pi}{2}-x)+\sin(-x)+\cos(\frac{\pi}{2}+x)\)
• \(C=\cos^{2}x+\cos^{2}(x-\pi)+\sin^{2}(-x)+\sin^{2}(x+\pi)\)

1. 1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations: \((E_{1}):\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \((E_{2}):\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
   2. Donner les solutions de l’équation \((E_{1})\) sur l’intervalle \([0;2\pi]\).
2. On considère la fonction g définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(g(x)=4\sin^{2}x-2\).
   1. Montrer que \(g(x)=4(\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2})\) pour tout réel x.
   2. Résoudre dans l’intervalle \([-\pi;\pi]\) l’équation \(g(x)=0\).
3. 1. Représenter sur le cercle trigonométrique la résolution de l’inéquation \(2\sin x+\sqrt{2}>0\).
   2. Donner les solutions de cette inéquation sur l’intervalle \([0;2\pi]\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\):
   1. \(2\cos x-5=0\)
   2. \(3\sin x+7>0\)

Soit ABC un triangle tel que \(AB=\sqrt{3}\); \(BC=\sqrt{2}\); \(AC=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\) et \(\overline{BCA}=\frac{\pi}{3}\).

1. Calculer \(\sin(\overline{BAC})\); puis déduire la mesure de \(\overline{BAC}\).
2. Vérifier que \(\overline{ABC}=\frac{5\pi}{12}\) puis calculer \(\sin(\frac{5\pi}{12})\).
3. En déduire que \(\cos(\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\).

1. Dans chacun des cas suivants. Déterminer \(D_{f}\) le domaine de définition de la fonction f définie par:
   1. \(f(x)=\sqrt{-x^{2}+5x-6}\)
   2. \(f(x)=\frac{\tan(x)}{\cos(x)+2}\)
   3. \(f(x)=\sqrt{3-2|x|}\)
2. Les fonctions f et g définies ci-contre sont-elles égales ?
   \(f(x)=\sqrt{x^{2}+4x+4}\) et \(g(x)=|x+2|\)
3. Soit f la fonction définie par: \(f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\)
   1. Déterminer \(D_{f}\) le domaine de définition de f.
   2. Étudier la parité de f.
   3. 1. On considère l’équation \((E):3x^{3}-8x^{2}+8=0\).
      2. Vérifier que 2 est une solution de (E) puis résoudre (E).
      3. En déduire les antécédents de \(\frac{8}{3}\) par f.
   4. Montrer que f est strictement décroissante sur \(]-1;1[\).

Soit f la fonction définie par: \(f(x)=\frac{3x}{x^{2}+2}\)

1. Déterminer \(D_{f}\) le domaine de définition de f.
2. Les points suivants \(A(0;1)\); \(B(-2;-1)\) et \(C(2;4)\) appartiennent-ils à \((C_{f})\) ?
3. Étudier la parité de f.
4. Soient a et b deux éléments distincts de \(D_{f}\).
   1. Vérifier que: \(T_{f}(a;b)=\frac{3(2-ab)}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}\).
   2. Montrer que f est strictement croissante sur \([0;\sqrt{2}]\).
   3. Montrer que f est strictement décroissante sur \([\sqrt{2};+\infty[\).
   4. Donner le tableau de variations de f sur \(\mathbb{R}\).

Soit ABC un triangle tels que \(AB=6; AC=4\) et \(B\hat{A}C=\frac{\pi}{3}\).

1. 1. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB}.\vec{AC}\).
   2. Montrer que \(BC=2\sqrt{7}\).
2. On considère le point D tel que \(\vec{AD}=\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AC}\).
   Montrer que \(\vec{AD}.\vec{BC}=-18\).
3. Soit H et K les projetés orthogonaux respectifs des points A et D sur la droite \((BC)\).
   1. Montrer que \(\vec{AD}.\vec{BC}=\overline{HK} \times BC\).
   2. En déduire la distance HK.