On considère le polynôme: \(P(x)=2x^{3}-mx^{2}+27x-10\) avec m un nombre réel.

1. Déterminer la valeur du réel m pour que le polynôme \(P(x)\) soit divisible par \(x-2\).

Dans le reste de cet exercice, on prend: \(m=15\).

2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que: \(P(x)=(x-2)Q(x)\) avec deux méthodes différentes.
3. 1. Vérifier que 5 est une racine du polynôme \(Q(x)\).
   2. En déduire une factorisation du polynôme \(P(x)\) en produits de trois monômes.
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(x)=0\) puis l’inéquation: \(P(x)<0\).
5. En déduire les solutions:
   1. De l’inéquation: \(2(2x-5)^{3}-15(2x-5)^{2}+27(2x-5)-10<0\).
   2. De l’équation: \(2x^{2}|x|-15x^{2}+27|x|-10=0\).

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Discuter suivant les valeurs du paramètre m les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l’inéquation \((m+3)x+m-5<0\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes: \(\frac{(x-1)(x+2)}{3-x}\ge0\) et \(\frac{3x+1}{x-2}\le2\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation: \(x^{2}-(\sqrt{8}+\sqrt{2})x+4=0\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation: \(x^{2}+2x-8=0\) puis en déduire les solutions des équations suivantes : \((x^{2}+x)^{2}+2(x^{2}+x)-8=0\); \(x^{4}+2x^{2}-8=0\) et \(x^{2}+2|x-3|-6x+1=0\).
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes : \(\frac{-2x^{2}+x+1}{x^{2}-4x-5}\le0\) et \((-x^{2}+x-2)(x^{2}-3x)\ge0\).
6. Factoriser dans \(\mathbb{R}\) le polynôme \(x^{2}-5x+6\) puis en déduire une factorisation du polynôme \(x^{4}-5x^{2}+6\) en produits de quatre monômes.
7. Trouver les deux réels a et b sachant que: \(a+b=7\) et \(a \times b=2\).
8. On pose \(A(x)=2x^{2}-5x+3\). Donner la forme canonique du trinôme \(A(x)\) puis conclure que \(A(x)\ge-\frac{1}{8}\).
9. En utilisant la méthode des déterminants, résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système suivant : \(\begin{cases}2x-3y=5\\ 3x+y=13\end{cases}\). Puis en déduire les solutions du système \(\begin{cases}2|x-1|-3(2y+1)=5\\ 3|x-1|+2y+1=13\end{cases}\).
10. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation suivante: \(|3-2x|+|x-4|=7\).

On considère l’équation (E): \(x^{2}-5x+2=0\).

1. Vérifier que l’équation (E) admet deux solutions distinctes \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sans les déterminer.
2. Sans calculer \(x_{1}\) et \(x_{2}\), donner la valeur de: \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\); \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\) et \(x_{1}^{6}+x_{2}^{6}\).
3. Résoudre l’équation (E) puis Montrer que : \((\frac{5+\sqrt{17}}{2})^{6}+(\frac{5-\sqrt{17}}{2})^{6}=9009\).

On considère le polynôme \(P(x)\) tel que: \(P(x)=x^{2}+ax+b\) où a et b sont deux réels.

1. Déterminer a et b sachant que: \(P(x+1)-P(x)=x\).
2. En déduire que : \(1+2+3+…….+n=\frac{n(n+1)}{2}\). (Sans développer).
3. Calculer la valeur de: \(1+2+3+……+2021\).

On considère le polynôme: \(P(x)=2x^{3}-mx^{2}+27x-10\) avec m un nombre réel.

1. Déterminer la valeur du réel m pour que le polynôme \(P(x)\) soit divisible par \(x-2\).

Dans le reste de l’exercice, on prend: \(m=15\).

2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que: \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
3. Vérifier que 5 est une racine du polynôme \(Q(x)\).
4. En déduire une factorisation du polynôme \(P(x)\) en produits de polynômes de degré 1.
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(x)=0\) puis l’inéquation: \(P(x)<0\).
6. Sans calcul, déterminer le signe de \(P(\frac{2018}{2017})\).

On considère l’équation (E): \(x^{2}-5x+2=0\).

1. Vérifier que l’équation (E) admet deux solutions distinctes \(x_{1}\) et \(x_{2}\).
2. Sans calcul de \(x_{1}\) et \(x_{2}\), calculer: \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) et \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\).
3. Sans développer, montrer que : \((\frac{5+\sqrt{17}}{2})^{6}+(\frac{5-\sqrt{17}}{2})^{6}=9009\).

1. Discuter suivant les valeurs du paramètre m les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l’équation : \((m-1)x+2mx-3(m-x)+9=0\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation suivante: \(|3-2x|+|x-4|=2x+1\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les deux équations: \(-x^{2}-x+6=0\) et \((x^{2}+x+1)(x-3)=0\). Puis l’inéquation: \(\frac{-x^{2}-x+6}{(x^{2}+x+1)(x-3)}\le0\).
4. En utilisant la méthode des déterminants, résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système suivant : \(\begin{cases}2x-3y=5\\ 3x+y=13\end{cases}\). Puis en déduire les solutions du système \(\begin{cases}2|x-1|-3(2y+1)=5\\ 3|x-1|+2y+1=13\end{cases}\).
5. Factoriser dans \(\mathbb{R}\) le polynôme \(x^{2}-5x+6\) puis en déduire une factorisation du polynôme \(x^{4}-5x^{2}+6\) en produits de polynômes de degré 1.
6. Résoudre graphiquement l’inéquation suivante \(2x-3y-1\ge0\).
7. Trouver deux réels a et b sachant que \(a+b=7\) et \(a \times b=2\).

Dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points: A(-2; 4); B(3;-1); C(-2;-1); E(1;1) et F(-1;3).

1. Donner les coordonnées de chacun des deux vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AE}\).
2. Déduire que \(E \in (AB)\).
3. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C.
4. Déterminer les coordonnées du point \(I(x;y)\), le milieu du segment \([BC]\).
5. Montrer qu’une équation cartésienne de la droite (AB) est donnée par: \(x+y-2=0\).
6. Vérifier que \(C \notin (AB)\) et que \(E \in (AB)\).
7. Donner une représentation paramétrique de la droite (D) passant par F et dirigée par le vecteur \(\vec{u}(2;-1)\).
8. Montrer que les deux droites (D) et (AB) sont sécantes.
9. Déterminer les coordonnées de \(H(x;y)\), le point d’intersection des deux droites (D) et (AB).
10. Tracer les deux droites (D) et (AB) dans un même repère.
11. Donner une équation cartésienne de la droite (D).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
   \(x(\frac{1}{3}x-2)(\frac{1}{5}-7x)=0\) ; \(||x|-1|=|3-5x|\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
   \(|3x+7|\le4\) ; \(|7-\frac{1}{3}x|>1\) ; \(1\le|3x+7|\le4\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations:
   \((2x+3)(1-3x)<0\) ; \(1-2x-\frac{x+3}{2}=x+\frac{1-x}{3}\) ; \(\frac{1}{2}(3-x)+1\ge2-(x-\frac{x+4}{3})\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
   \(x^{2}+3\sqrt{2}x+4=0\) ; \(-4x^{2}+8x-4=0\) ; \(-x^{2}+x-1=0\).

Soit \(x\in\mathbb{R}\), on considère le polynôme \(P(x)=2x^{4}-9x^{3}+14x^{2}-9x+2\).

1. Vérifier que 0 n’est pas une racine de \(P(x)\).
2. Soit \(a\in\mathbb{R}^{*}\), montrer que si a est une racine de \(P(x)\) alors \(\frac{1}{a}\) est aussi une racine de \(P(x)\).
3. 1. Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-2\).
   2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
   3. Déduire (sans calcul) que \(Q(\frac{1}{2})=0\). (Utiliser le résultat de la question 2).
4. Déterminer le polynôme \(R(x)\) tel que \(Q(x)=(x-\frac{1}{2})R(x)\).
5. Déduire de ce qui précède une factorisation de \(P(x)\) en produit de binômes du premier degré.
6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(x)=0\) et l’inéquation \(P(x)<0\).
7. Soit \(x\in[\frac{5}{4};\frac{3}{2}]\), montrer que \(\frac{-3}{8}\le P(x)\le\frac{-3}{64}\).