Soit ABC un triangle tel que : \(AB=6\) et \(AC=4\) et \(\vec{AB}.\vec{AC}=12\).

1. Vérifier que : \(\cos(\hat{A})=\frac{1}{2}\).
2. Calculer la distance \(BC\).
3. Soient I et J les milieux respectifs de \([AB]\) et \([AC]\).
   1. Calculer \(\vec{AI}.\vec{AJ}\) et \(AI\).
   2. Calculer \(IJ\).
4. Soit M un point du plan tel que : \(\vec{AM} = \frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}\).
   1. Écrire le vecteur \(\vec{MI}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
   2. Montrer que les droites \((MI)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.

ABC est un triangle isocèle et rectangle en B tel que : \(AB=2\). Soit D un point du plan en dehors du triangle tel que le triangle ABD est équilatéral.

1. Calculer \(\vec{BA}.\vec{BD}\) et \(\vec{BC}.\vec{BD}\).
2. Calculer la distance CD.
3. Montrer que : \(\vec{AC}.\vec{AD}=1-\sqrt{3}\).
4. Vérifier que \(\widehat{DAC}=\frac{7\pi}{12}\) en déduire que \(\cos(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\).

ABCD est un parallélogramme et E et F sont deux points du plan tels que : \(\vec{CE}=\frac{1}{2}\vec{CD}\) et \(\vec{BF}=\frac{3}{2}\vec{BC}\).

1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que la droite \((AF)\) est l’image de la droite \((BE)\) par la translation de vecteur \(\vec{BC}\).
3. Soit h l’homothétie de centre A et qui transforme B en D.
   1. Montrer que \(h(C)=E\).
   2. Montrer que le rapport de h est \(\frac{1}{2}\).
4. Soit I l’image de C par h. Montrer que : \(\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AC}\) et \(I=J\).

Questions indépendantes

1. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définies par:
   1. \(f(x)=\frac{2x}{x^{2}-x}\)
   2. \(g(x)=\sqrt{x^{2}-x-2}\)
   3. \(h(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-4}\)
2. ABC est un triangle. Le point D est l’image de A par la translation de vecteur \(\vec{BC}\). Le point I est le milieu de \([AB]\). Déterminer le point J, l’image de I par \(t_{\vec{BC}}\).
3. Soit ABC un triangle tel que \(\hat{A}=60^{\circ}\), \(AB=3\) et \(AC=4\). Calculer la distance BC.
4. Montrer que \(\pi\) est une période de la fonction f définie par : \(f(x)=\sin x \cos x\).

On considère la fonction f définie par : \(f(x)=x^{2}-4x+3\). Soit \((C)\) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,I,J).

1. Montrer que \(f(x)=(x-2)^{2}-1\).
2. Étudier les variations de f sur chacun des intervalles \([2;+\infty[\) et \(]-\infty;2]\).
3. Construire le tableau de variations de f. En déduire la valeur minimale de f.
4. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(3)\).
5. Construire \((C)\) la courbe de f.
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\le0\).

Soit ABCD un trapèze dont les bases \([AB]\) et \([CD]\) ont pour milieux respectifs I et J et telles que \(AB=4\) et \(CD=6\). On note O le point d’intersection des droites \((AD)\) et \((BC)\). On note h l’homothétie de centre O qui transforme A en D.

1. En utilisant le théorème de Thalès montrer que \(\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DC}\).
2. Montrer que le rapport de h est \(\frac{3}{2}\).
3. Montrer que \(h(B)=C\).
4. Montrer que \(h(I)=J\). En déduire que les points O, J et I sont alignés.
5. Soit K le point d’intersection des diagonales \([AC]\) et \([BD]\). On considère l’homothétie \(h’\) de centre K qui transforme A en C.
   1. Montrer que le rapport de \(h’\) est \(-\frac{3}{2}\).
   2. Montrer que les points O, I, K et J sont alignés.

On considère un rectangle ABCD tel que \(AB=5\) et \(BC=3\). Un triangle ABF équilatéral et BCE un triangle rectangle et isocèle de sommet C. Soit H le milieu du segment \([AB]\). Calculer les produits scalaires suivants :

1. \(\vec{AB}.\vec{AH}\)
2. \(\vec{AB}.\vec{AF}\)
3. \(\vec{BD}.\vec{CE}\)
4. \(\vec{BE}.\vec{BA}\)

Questions indépendantes

1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions réelles suivantes définies par :
   1. \(f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+2x-3}\)
   2. \(g(x)=\sqrt{4-x^{2}}\)
2. ABC un triangle. Soit I le milieu du segment \([BC]\).
   1. Construire D l’image du point C par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
   2. Déterminer l’image de la droite \((BD)\) par la symétrie centrale de centre I.
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}=\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}\) et \(\vec{v}=-\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}\).
   1. Calculer : \(\vec{u}.\vec{v}\), \(||\vec{u}||\) et \(||\vec{v}||\).
   2. Déterminer une mesure de l’angle orienté \((\vec{u},\vec{v})\).
4. On considère la fonction h définie par: \(h(x)=\sqrt{x^{2}-3|x|-4}\).
   1. Déterminer le domaine de définition de h.
   2. Étudier la parité de la fonction h.

On considère la fonction réelle f définie par \(f(x)=2x^{2}-4x+1\).

1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. 1. Étudier la monotonie de f sur les intervalles \(]-\infty;1]\) et \([1;+\infty[\).
   2. Construire le tableau de variations de f.
3. 1. Construire \((C_{f})\) la courbe de f dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
   2. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\ge1\).

Soit ABC un triangle rectangle en C.

1. 1. Construire les points D et E les images respectives de B et C par l’homothétie h de centre A et de rapport 3.
   2. Montrer que \(\frac{BC}{DE}=\frac{1}{3}\).
2. Soit O le point d’intersection des diagonales du quadrilatère CBDE.
   1. Déterminer le rapport de l’homothétie \(h’\) de centre O et qui transforme le point D en C.
   2. Montrer que \(h'(E)=B\).
   3. Montrer que \(\vec{AC}.\vec{CD}=2\vec{AC}.\vec{AB}\).

ABC est un triangle tel que \(AC=3\), \(AB=5\) et \(\hat{BAC}=\frac{2\pi}{3}rad\).

1. Calculer BC.
2. Soit I le milieu de \([BC]\). Calculer AI.

Soit ABC un triangle tel que: \(AB=3\) et \(AC=1\) et \(\cos(\widehat{BAC})=\frac{-1}{3}\).

1. Vérifier que : \(\vec{AB}.\vec{AC}=-1\).
2. Calculer la distance BC.
3. Soient I et J les milieux respectifs de \([BC]\) et \([AC]\).
   1. Calculer AI et BJ.
   2. Calculer \(\vec{IA}.\vec{IB}\).
4. Soit E un point du plan tel que : \(\vec{AE}=\frac{4}{9}\vec{AB}\).
   1. Écrire le vecteur \(\vec{IE}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
   2. Montrer que les droites (AB) et (IE) sont perpendiculaires.

ABC est un triangle isocèle et rectangle en B tel que : \(AB=\sqrt{2}\). Soit D un point du plan en dehors du triangle tel que le triangle ABD est équilatéral.

1. Calculer \(\vec{BA}.\vec{BD}\) et \(\vec{BC}.\vec{BD}\).
2. Calculer la distance CD.
3. Montrer que : \(\vec{AC}.\vec{AD}=1-\sqrt{3}\).
4. Vérifier que \(\widehat{DAC}=\frac{7\pi}{12}\) en déduire que \(\cos(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\).

ABCD est un parallélogramme et I et J sont deux points du plan tels que: \(\vec{CI}=\frac{2}{3}\vec{CB}\) et \(\vec{IJ}=\vec{DC}\).

1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que la droite \((BJ)\) est l’image de la droite (AI) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
3. Soit h l’homothétie de centre I qui transforme B en C.
   1. Montrer que \(h((AB))=(CD)\).
   2. Montrer que le rapport de h est \(k=-2\).
   3. Soit K l’image de J par h. Montrer que: \(\vec{KI}=2\vec{AB}\) et \(\vec{AI}=-\frac{1}{2}\vec{CK}\).