On pose \(a=2646\) et \(b=2100\).

1. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers. (2 pts)
2. Déterminer le \(ppcm(a,b)\) et le \(pgcd(a,b)\). (1.5 pts)
3. Simplifier \(\frac{a}{b}\), \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\). (1.5 pts)
4. Déterminer le plus petit entier naturel k pour que ka soit un carré parfait (carré parfait c’est-à-dire s’écrit sous la forme \(m^{2}\) où m est un entier naturel). (1 pt)

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres suivants : \(4n+6\) et \(12n+7\). (1 pt)
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\).
   1. Montrer que : si n est impair alors \(n^{2}\) est impair. (1 pt)
   2. En déduire la parité du nombre \((783671)^{2}\). (0.5 pt)
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\).
   1. Vérifier que: \(n^{2}+15n+56=(n+7)(n+8)\). (0.5 pt)
   2. En déduire la parité du nombre \(n^{2}+15n+56\). (0.5 pt)
   3. Le nombre \(n^{2}+15n+56\) est-il premier ? Justifier votre réponse. (1 pt)
4. Montrer que la somme de trois nombres pairs consécutifs est un multiple de 6. (1.5 pt)

Soit ABC un triangle et soient M, N et E trois points du plan tels que : \(\vec{AM}=\frac{2}{3}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\), \(\vec{AN}=2\vec{AB}-\frac{1}{2}\vec{AC}\) et \(\vec{AE}=\frac{4}{3}\vec{AB}-\vec{AC}\).

1. Construire la figure. (2.25 pts)
2. 1. Montrer que \(3\vec{CM}=2\vec{AB}-\frac{3}{2}\vec{AC}\) et \(\vec{CN}=2\vec{AB}-\frac{3}{2}\vec{AC}\). (1.5 pts)
   2. En déduire que les points C, M et N sont alignés. (0.25 pt)
3. Montrer que \(\vec{AM}=\vec{EN}\) et déduire la nature du quadrilatère AMNE. (1 pt)

Soient ABC un triangle et M un point tel que \(\vec{AM}=-\frac{2}{3}\vec{AB}\). Et soit N le projeté de M sur (AC) parallèlement à (BC).

1. Construire la figure. (1.5 pts)
2. Montrer que : \(\vec{AN}=-\frac{2}{3}\vec{AC}\). (1.5 pts)

1. Soit \(n\in\mathbb{N}\); Étudier la parité des nombres suivants : \(A=4n+5\) ; \(B=n^{2}+3n\) ; \(C=(n+2)(n+3)\). (1.5 pt)
2. Montrer que 53 est un nombre premier. (1 pt)
3. Soient x et y deux entiers naturels tels que \(y>x\).
   1. Déterminer les diviseurs du nombre 20. (0.5 pt)
   2. Montrer que les nombres \((y+x)\) et \((y-x)\) ont la même parité. (1 pt)
   3. Déterminer tous les couples (x, y) tels que \(y^{2}-x^{2}=20\). (1 pt)
4. Soit a un nombre premier tel que \(a\ge3\) et b un entier naturel multiple de 3. Montrer que 6 divise le nombre \((3a+2b+3)\). (1 pt)
5. Soit \(n\in\mathbb{N}\), posons \(A=\frac{n+18}{n+3}\).
   1. Montrer que : \(A=1+\frac{15}{n+3}\). (0.5 pt)
   2. Déterminer toutes les valeurs de n pour que \(A\in\mathbb{N}\). (1 pt)
6. Soient a et b deux entiers naturels tels que: \(a=168\) et \(b=630\).
   1. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers. (2 pts)
   2. Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\). (1.5 pt)
   3. Simplifier \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{ab}\). (1 pt)

Soit ABC un triangle et E et F deux points du plan tels que : \(\vec{AC}=3\vec{AE}\) et \(\vec{BF}=-\vec{BC}\).

1. Construire une figure convenable. (1 pt)
2. Montrer que: \(\vec{AF}=2\vec{AB}-\vec{AC}\), puis déduire que: \(\vec{EF}=2\vec{AB}-\frac{4}{3}\vec{AC}\). (2 pts)
3. On considère le point G du plan tel que: \(\vec{AG}=-\vec{AB}+\vec{AC}\).
   1. Montrer que : \(\vec{FG}=-3\vec{AB}+2\vec{AC}\). (1 pt)
   2. En déduire que les points E, F et G sont alignés. (1 pt)

Soit ABC un triangle rectangle en B et I le milieu de [BC]. On considère le point G de [AI] tel que: \(\vec{GA}=-2\vec{GI}\), et soit H le projeté orthogonal du point G sur (BC).

1. Construire le triangle ABC et les points I, G et H. (1 pt)
2. Montrer que \(\vec{HB}=-2\vec{HI}\). (1 pt)
3. Conclure que \(\vec{BH}=\frac{1}{3}\vec{BC}\). (1 pt)

Soient n, a et b des entiers naturels avec: \(a=2n^{2}+4n+7\) et \(b=n^{2}+5n+6\).

1. Étudier la parité des nombres a et b. (2 pts)
2. Montrer que \(a+b-1\) est un multiple de 3. (1 pt)
3. On pose \(X=7^{n+2}-7^{n}\) et \(Y=3\times7^{n+1}+5\times7^{n}\). Montrer que X est divisible par 3 et que 13 divise Y. (2 pts)
4. Déterminer tous les chiffres c pour que le nombre 921c soit divisible par 3. (1 pt)
5. Montrer que si n est impair alors \(n^{2}-1\) est un multiple de 8. (1 pt)
6. Les nombres 91 et 51 sont-ils premiers? Justifier votre réponse. (1 pt)

Soient les deux nombres \(a=588\) et \(b=198\).

1. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers. (2 pts)
2. Déduire le \(pgcd(a,b)\) et le \(ppcm(a,b)\). (2 pts)
3. Simplifier les deux nombres \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{a\times b}\). (1 pt)

Soit ABCD un parallélogramme, M et N deux points du plan tels que: \(\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{AB}\) et \(\vec{AN}=3\vec{AD}\).

1. Construire une figure. (2 pts)
2. Montrer que : \(\vec{CM}=\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{BC}\) et \(\vec{CN}=2\vec{AD}-\vec{DC}\). (2 pts)
3. Montrer que: \(\vec{CM}=-\frac{1}{2}\vec{CN}\). (2 pts)
4. Déduire que les points C, M et N sont alignés. (1 pt)