1. Compléter le tableau suivant :

   Mesure en degré	\(45^{\circ}\)
   Mesure en radian		\(\frac{\pi}{6}\)
   Mesure en grade			200

2. Déterminer les abscisses curvilignes principales des points suivants et les positionner sur un cercle trigonométrique :
   \(A(\frac{13\pi}{3})\), \(B(\frac{-33\pi}{6})\), \(C(\frac{256\pi}{64})\)
3. Calculer les rapports suivants :
   \(\cos(\frac{\pi}{3})\); \(\sin(\frac{2\pi}{12})\); \(\cos(\frac{-23\pi}{3})\); \(\tan(\frac{17\pi}{4})\)
4. Simplifier les expressions suivantes :
   • \(A=\sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)-\cos(\frac{\pi}{2}+x)-\sin(42\pi+x)\)
   • \(B=\cos^{2}(x)+\sin(3\pi-x)\cdot\sin(4\pi+x)+2\cos(\frac{5\pi}{2}+x)+2\cos(x)\)
5. Calculer \(\tan(x)\) et \(\sin(x)\) sachant que \(\cos(x)=\frac{2}{3}\) et \(-\frac{\pi}{2}\le x\le0\).
6. Montrer que : \(1+\tan^{2}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}\) si \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
7. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
   • \(\cos(x)=\frac{1}{2}\)
   • \(\sqrt{2}\sin(x)=1\)
8. Déduire les solutions de l’équation \(\sqrt{2}\sin(x)=1\), dans l’intervalle \([-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système : (S): \(\begin{cases}2x-3y+4=0\\ 3x+y-5=0\end{cases}\).
2. En déduire les solutions du système : (S’): \(\begin{cases}\frac{2}{x}-\frac{3}{y}+4=0\\ \frac{3}{x}+\frac{1}{y}-5=0\end{cases}\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation: (E): \(2x^{2}-3x-2=0\).
2. En déduire les solutions de l’équation: (E’): \(2(2x-1)^{2}-3(2x-1)-2=0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation: (I): \(2x^{2}-3x-2\le0\).
4. Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}2x+y<3\\ x+2y>-1\end{cases}\).

1. Donner la mesure principale de l’angle \((\vec{OI};\vec{OM})\) sachant que \((\vec{OI};\vec{OM})\equiv-\frac{127\pi}{4}[2\pi]\) et \((\vec{OI};\vec{OM})\equiv\frac{337\pi}{5}[2\pi]\).
2. Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(M_{k}\) d’abscisse curviligne \(\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\) ; \(k\in\mathbb{Z}\).

Pour tout x de \(\mathbb{R}\), on pose \(A(x)=\cos(x+\frac{\pi}{8})+\cos(x+\frac{3\pi}{8})+\cos(x+\frac{5\pi}{8})+\cos(x+\frac{7\pi}{8})\).

1. Calculer \(A(0)\) et \(A(\frac{\pi}{8})\).
2. Montrer que: \(A(-x)=-A(x)\).
3. Sachant que: \(\cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\), calculer \(\sin(\frac{\pi}{8})\).

Calculer les sommes suivantes :

• \(A_{1}=\sin(\frac{\pi}{8})-\sin(\frac{3\pi}{8})+\sin(\frac{5\pi}{8})-\sin(\frac{7\pi}{8})\)
• \(A_{2}=\cos^{2}(\frac{\pi}{10})+\cos^{2}(\frac{4\pi}{10})+\cos^{2}(\frac{6\pi}{10})+\cos^{2}(\frac{9\pi}{10})\)

Résoudre dans l’intervalle I :

1. \(I=[0;2\pi]\); \(\cos^{2}(x)-5\cos(x)+6\le0\).
2. \(I=[-\pi;\pi[\); \(\sin(2x-\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
3. \(I=[0;2\pi]\); \(2\cos(x)+1>0\).
4. \(I=\mathbb{R}\); \(\cos(5x)+\cos(x)=0\).

(Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes)

1. 1. Résoudre chacune des inéquations suivantes :
      \((\sqrt{3}-x)(2x^{2}+x-1)\le0\) et \(\frac{\frac{-x^{2}}{2}+2\sqrt{2}x-4}{2x^{2}+x-1}\ge0\).
   2. Factoriser chacun des deux trinômes \(2x^{2}+x-1\) et \(\frac{-x^{2}}{2}+2\sqrt{2}x-4\).

2. 1. Résoudre le système \((S)\) en utilisant la méthode des déterminants : \((S): \begin{cases}2x-3y=-4\\ -3x+y=-1\end{cases}\).
   2. Déduire les solutions des systèmes suivants :
      \((S_{1}):\begin{cases}2x^{2}-3\sqrt{y}=-4\\ -3x^{2}+\sqrt{y}=-1\end{cases}\) et \((S_{2}):\begin{cases}2|x|-\frac{3}{y-1}=-4\\ -3|x|+\frac{1}{y-1}=-1\end{cases}\).

3. 1. Résoudre le système suivant (T) \(\begin{cases}-2x+y-1<0\\ x+y\ge0\\ y\ge0\end{cases}\).
   2. Donner quelques solutions naturelles du système \((T)\).

4. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel m l’équation: \(x^{2}-mx+1=0\).

(Les deux parties de cet exercice sont indépendantes)

1. Soit \((C)\) un cercle trigonométrique de centre O et d’origine I lié à un repère orthonormé \((O;\vec{OI};\vec{OJ})\) tel que \((\vec{OI};\vec{OJ})=\frac{\pi}{2}[2\pi]\). On considère les trois points \(A(\frac{460\pi}{6})\), \(B(\frac{-152\pi}{3})\) et \(C(-17\pi)\).
   1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des trois points A, B et C.
   2. Calculer les rapports trigonométriques des abscisses curvilignes des points A, B et C.
   3. Construire une figure convenable et placer les trois points A, B et C sur le cercle trigonométrique.
   4. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés \((\vec{OA};\vec{OB})\), \((\vec{OB};\vec{OC})\) et \((\vec{IA};\vec{IB})\).

2. 1. Sachant que \(\sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\), calculer \(\cos(\frac{7\pi}{12})\) puis \(\tan(\frac{7\pi}{12})\).
   2. Soit \(x\in[-\pi;-\frac{\pi}{2}[\) tel que \(\tan(x)=\sqrt{5}\), Calculer \(\cos(x)\) puis \(\sin(x)\).
   3. Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(x\ne\frac{k\pi}{2}\) où \(k\in\mathbb{Z}\), montrer que \(\frac{1}{1-\sin(x)}+\frac{1}{1+\sin(x)}=2(1+\tan^{2}(x))\).
   4. Montrer que \(\cos(\frac{\pi}{5})+\cos(\frac{2\pi}{5})+\cos(\frac{3\pi}{5})+\cos(\frac{4\pi}{5})=0\).

Soit \(x\in\mathbb{R}\), considérons l’expression suivante : \(A(x)=2\cos(2x+7\pi)\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{5\pi}{2})\).

1. 1. Montrer que \(\cos(2x+7\pi)=-\cos(2x)\) et que \(\sin(2x-\frac{5\pi}{2})=-\cos(2x)\).
   2. Déduire que \(A(x)=-\cos(2x)(2\sin(x+\frac{\pi}{6})-1)\).

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) puis dans l’intervalle \([-\pi;\pi]\) l’équation \(A(x)=0\).
3. Donner le tableau de signe de \(A(x)\), puis déduire les solutions de \(A(x)\le0\) dans \(]-\pi;\pi]\).

Soit le plan muni d’un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) et le cercle trigonométrique (C) lié à ce repère. On considère les points: \(A(\frac{35\pi}{6})\), \(B(\frac{-22\pi}{4})\) et \(C(\frac{45\pi}{6})\).

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points suivants: A, B et C.
2. Représenter ces points \((A, B \text{ et } C)\) dans le cercle trigonométrique \((C)\).
3. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté : \((\vec{OA};\vec{OC})\).
4. Calculer: \(\cos(\frac{35\pi}{6})\), \(\sin(\frac{-22\pi}{4})\) et \(\tan(\frac{45\pi}{6})\).

1. Soit x un nombre réel, simplifier les expressions suivantes :
   • \(A(x)=2\cos(-x)-\cos(x-\pi)+6\sin(\frac{\pi}{2}+x)-2\cos(\pi+x)\)
   • \(B(x)=4\sin(x+7\pi)-2\sin(15\pi-x)+\cos(\frac{9\pi}{2}+x)\)
2. Sachant que \(\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}-1\), montrer que: \(\cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\), puis calculer: \(\sin(\frac{\pi}{8})\), \(\cos(\frac{7\pi}{8})\) et \(\cos(\frac{5\pi}{8})\).

Soient les deux équations suivantes : (E): \(2\cos x-\sqrt{3}=0\) et (E’): \(2\sin x-\sqrt{2}=0\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations (E) et (E’).
2. Déduire les solutions de (E) et (E’) dans l’intervalle \(]-\pi;\pi]\).
3. Soit x un nombre réel, on pose \(A(x)=(2\cos x-\sqrt{3})(2\sin x-\sqrt{2})\). Déduire les solutions de \(A(x)=0\) dans l’intervalle \(]-\pi;\pi]\).
4. Résoudre sur l’intervalle \(]-\pi;\pi]\) les inéquations suivantes : \(2\cos x-\sqrt{3}\le0\) et \(2\sin x-\sqrt{2}>0\).

1. 1. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système suivant : (S): \(\begin{cases}3x+2y=11\\ 5x-y=1\end{cases}\) (en utilisant la méthode du déterminant << Cramer >>).
   2. déduire la solution du système suivant : (S’): \(\begin{cases}3|x|+2|y|=11\\ 5|x|-|y|=1\end{cases}\).

1. Soit x un nombre réel simplifier les expressions suivantes:
   • \(B(x)=\sin^{2}(x-\pi)+\cos^{2}(\pi-x)\)
   • \(C(x)=\cos^{4}(x)-\sin^{4}(x)+\sin^{2}(x)-\cos^{2}(x)\)
   • \(D(x)=\cos(17\pi-x)+\sin(\frac{21\pi}{2}+x)+\sin(x+5\pi)+\cos(\frac{9\pi}{2}-x)\)
2. Soit x un réel, on pose \(A(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\cos(2x+\frac{5\pi}{6})\).
   1. Montrer que: \(\cos(2x+\frac{5\pi}{6})=-\sin(2x+\frac{\pi}{3})\).
   2. Déduire que: \(A(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\).
   3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(A(x)=\sqrt{3}\) dans l’intervalle \([0, \pi[\).

1. Soit (C) un cercle trigonométrique et \((O;\vec{OI};\vec{OJ})\) un repère orthonormé direct lié avec (C).
   1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points suivants, puis placer sur le cercle trigonométrique (C): \(A(\frac{23\pi}{3})\); \(B(\frac{-31\pi}{4})\).
   2. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté suivant : \((\vec{OA};\vec{OB})\).
   3. Déduire la mesure principale de l’angle orienté suivant : \((\vec{AO};\vec{BO})\).

2. Soit \(\beta\) un réel de l’intervalle \(]-\pi;-\frac{\pi}{2}[\) tel que \(\tan \beta=2\). Calculer \(\cos \beta\) et \(\sin \beta\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système suivant : \(\begin{cases}2x+4y=14\\ 4x-3y=-5\end{cases}\).
2. Déduire les solutions du système : \(\begin{cases}2|x-1|+4\sqrt{y}=14\\ 4|x-1|-3\sqrt{y}=-5\end{cases}\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les deux équations suivantes :
   • \(\cos(2x+\pi)=0\)
   • \(\sin(x)=-\frac{1}{2}\)

Répondez à l’une des deux questions:

1. Montrer que: \(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\).
2. Montrer que \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).