1. Compléter par l’un des symboles: \(\in, \notin, \subset, \not\subset\). (2 pts)
   \(0…\mathbb{N}^{*}\) ; \(\sqrt{7}…\mathbb{Q}\) ; \(\mathbb{Z}… \mathbb{N}\)
   \(\mathbb{R}^{-}…\mathbb{R}\) ; \(\frac{-\pi}{4}…\mathbb{Q}\) ; \(-\sqrt{100}…\mathbb{D}\)
   \(\mathbb{N}^{*}…\mathbb{D}\) ; \(\mathbb{Q}… \mathbb{D}\)
2. On considère les deux nombres: \(a=\sqrt{11+6\sqrt{2}}\) et \(b=\sqrt{11-6\sqrt{2}}\).
   1. Montrer que: \(ab=7\). (0.5 pts)
   2. Calculer: \((a+b)^{2}\) et \((a-b)^{2}\). (1 pt)
   3. Montrer que \(a=3+\sqrt{2}\) et \(b=3-\sqrt{2}\). (1 pt)
3. x est un nombre réel non nul tel que: \(x-\frac{1}{x}=2\), calculer \(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\) et \(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}\). (1.5 pts)

1. Soient x et y deux nombres réels tels que : \(1\le\sqrt{2x+3}\le2\) et \(-2\le4-3y\le1\).
   1. Montrer que \(x\in[-1;\frac{1}{2}]\) et \(y\in[1;2]\). (1 pt)
   2. Donner un encadrement de: \(x+y\) ; \(-2x\) ; \(\frac{\sqrt{8}}{y}\) ; \(x^{2}+y^{2}\). (2 pts)
   3. Montrer que: \(-2\le xy\le1\). (1 pt)
   4. Déduire que : \(|2xy+1|\le3\). (1 pt)
2. Soit a un nombre réel tel que : \(A=a^{4}+a^{2}+a+1\).
   1. Vérifier que: \(a^{2}+a+1=(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\) et puis déduire que : \(A>a^{4}\). (1 pt)
   2. On pose \(a>1\), montrer que \(a^{2}>a\) et déduire que \((a^{2}+1)^{2}>A\). (1 pt)
   3. On pose \(a=\sqrt{2}\), calculer A et déduire un encadrement de \(\sqrt{7+\sqrt{2}}\). (1 pt)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(-3;1)\), \(B(-1;4)\), \(C(1;7)\) et la droite (D) telle que: \((D): 2x+(m-2)y-3=0\) avec \((m\in\mathbb{R})\).

1. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) et du point I le milieu du segment [BC]. (1.5 pts)
2. Montrer que les points A, B et C sont alignés. (1 pt)
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). (1 pt)
4. Déterminer la valeur de m pour que \((AB)//(D)\). (1 pt)
5. On pose: \(m=3\). Montrer que les deux droites (AB) et (D) sont sécantes en un point F à déterminer. (1.5 pts)

Soient a et b deux réels tels que \(|2a-3|\le5\) et \(b-a=2\).

1. Montrer que \(-1\le a\le4\) et \(1\le b\le6\). (2pt)
2. Encadrer les nombres suivants \(2a+2\), \(2b-12\) et \(a\times b\). (2pt)
3. Calculer le nombre suivant \(A=\sqrt{(2a+2)^{2}}+\sqrt{(2b-12)^{2}}\). (1pt)
4. Représenter sur une droite numérique les deux intervalles I et J, puis déterminer \(I\cup J\) et \(I\cap J\) sachant que \(I=[-1;+\infty[\) et \(J=]-\infty;4]\). (1pt)
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
   \(||2x|-3|=5\) ; \(|-2x+3|=-1\) et \(\sqrt{(2x+1)^{2}}-\sqrt{(-x-2)^{2}}=0\). (2pt)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On considère les points \(A(3;-2)\), \(B(1;1)\), \(C(-1;4)\) et \(D(3;2)\).

1. Déterminer \(det(\vec{AB};\vec{AC})\). Que peut-on déduire? (1pt)
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). (1pt)
3. Déterminer l’équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par le point D et dirigée par \(\vec{u}(2;-1)\). (1pt)
4. On considère (D) et \((D’)\) deux droites telles que : \((D): x-y+3=0\) et \((D’): \begin{cases}x=1-2t\\ y=2+t\end{cases}\) (\(t \in \mathbb{R}\)).
   1. Montrer que (D) et \((D’)\) sont sécantes en un point I. (2pt)
   2. Déterminer les coordonnées du point I. (1pt)
5. Soit m un nombre réel. On considère la droite \((\Delta’)\) d’équation cartésienne suivante : \((\Delta’):mx-y+3=0\). Déterminer m pour que \((\Delta’)\) et (D) soient parallèles. (1pt)

Soient ABCD un parallélogramme et E, F deux points du plan tels que \(\vec{AE}=\frac{1}{3}\vec{AB}\) et \(\vec{AF}=\frac{-1}{2}\vec{AB}\). On considère \(E’\) et \(F’\) les projetés respectifs de E et F sur la droite (AC) parallèlement à (BC).

1. Construire une figure convenable. (1pt)
2. Écrire les vecteurs \(\vec{AE’}\) et \(\vec{AF’}\) en fonction de \(\vec{AC}\). (2pt)
3. En déduire que \(\vec{EE’}=\frac{1}{3}\vec{BC}\) et \(\vec{FF’}=\frac{-1}{2}\vec{BC}\). (1pt)
4. Montrer que \(\frac{FF’}{EE’}=\frac{3}{2}\). (1pt)

Soient a, b et c trois nombres réels non nuls tels que \(ab+ac+bc=0\). Montrer que \(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}=-3\). (2pt)

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(5;0)\), \(B(2;1)\) et \(C(6;3)\).

1. 1. Déterminer les cordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (0.5 pt)
   2. Calculer \(det(\vec{AB}, \vec{AC})\) et déduire que A, B et C ne sont pas alignés. (0.5 pt)
   3. Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A. (1 pt)
2. 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). (1 pt)
   2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) qui passe par A et de vecteur directeur \(\vec{u}(6;-2)\). (0.5 pt)
   3. Montrer que les droites (AB) et \((\Delta)\) sont parallèles. (0.5 pt)
3. Soient (D) et \((D’)\) deux droites telles que: \((D): \begin{cases}x=2+5t\\ y=1+t\end{cases};(t\in \mathbb{R})\) et \((D’):x+2y+3=0\).
   1. Montrer que: \(B\in(D)\) et \(A\notin(D’)\). (0.5 pt)
   2. Montrer que les droites (D) et (D’) sont sécantes en un point I. (0.5 pt)
   3. Déterminer les coordonnées du point I. (1 pt)

Soient a et b deux réels tels que : \(1\le a\) et \(b\le2\) et \(a-b=3\).

1. Montrer que: \(\sqrt{(a-1)^{2}}+\sqrt{(b-2)^{2}}=4\). (1 pt)
2. Montrer que: \(1\le a\le5\) et \(-2\le b\le2\). (1 pt)
3. Donner un encadrement de \(a+b\), \(a(b-3)\) et \(\frac{a}{b-3}\). (1.5 pt)
4. Montrer que \(|a+b-7|+|a+b+1|=8\). (1 pt)
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation suivante: (E): \(|2x+8|=2\). (0.5 pt)
6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation suivante : (I): \(|2x+8|<2\). (0.5 pt)

Soit x un réel.

1. Montrer que \(\sqrt{1+x^{2}}-1=\frac{x^{2}}{1+\sqrt{1+x^{2}}}\). (1 pt)
2. Montrer que \(1+\sqrt{1+x^{2}}>2\). (0.5 pt)
3. Déduire que \(|\sqrt{1+x^{2}}-1|<\frac{1}{2}x^{2}\). (1 pt)
4. Déterminer une valeur approchée du nombre \(\sqrt{1,0001}\) à \(5 \times 10^{-5}\) près. (1 pt)

1. 1. On pose \(A=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\); déterminer le signe de A. (1 pt)
   2. Calculer \(A^{2}\), puis en déduire que \(A=-\sqrt{2}\). (2 pts)
2. Soient a et b deux nombres réels telles que: \(a+b=2\) et \(a^{2}+b^{2}=8\).
   1. Calculer la valeur de \(a^{3}+b^{3}\). (1.5 pt)
   2. Calculer la valeur de \(a^{4}+b^{4}\). (1.5 pt)

1. 1. Comparer les deux nombres \(4\sqrt{3}\) et \(5\sqrt{2}\). (0.5 pt)
   2. Développer puis simplifier l’expression \((4\sqrt{3}-5\sqrt{2})^{2}\). (0,5 pt)
   3. Simplifier le nombre \(A=\sqrt{98-40\sqrt{6}}\). (1 pt)
2. Écrire en notation scientifique le nombre \(B=\frac{6\times10^{14}\times1,5\times10^{-6}\times4}{9\times10^{4}}\). (1 pt)
3. 1. Factoriser l’expression \(C=x^{3}-1+(x^{2}-1)\). (1 pt)
   2. Montrer que : \((1+\sqrt{2})^{3}+(1-\sqrt{2})^{3}=14\). (1 pt)
4. On considère les deux intervalles \(I=[-5;3[\) et \(J=[1;+\infty[\). Déterminer \(I\cup J\) et \(I\cap J\). (1 pt)

Soient a et b deux nombres réels tels que: \(a\le1\), \(b\ge-1\) et \(b-a=1\).

1. Montrer que : \(\sqrt{(a-1)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}}=1\). (1 pt)
2. Montrer que: \(-2\le a\le1\) et \(-1\le b\le2\). (1 pt)
3. Montrer que: \(|a+b+3|+|a+b-3|=6\). (1 pt)
4. 1. Montrer que: \(-4\le ab\le2\), \(0\le b^{2}\le4\) et \(0\le a^{2}\le4\). (1.5 pt)
   2. En déduire un encadrement du nombre \(X=a^{2}+b^{2}+2ab-9\). (1 pt)
5. Encadrer \((a+b)\) puis en déduire un autre encadrement de X (on rappelle que \(X=(a+b)^2-9\)). (1 pt)
6. Déterminer parmi les deux encadrements celui qui est le plus précis. (0,5 pt)
7. Montrer que \(-\frac{9}{2}\) est une valeur approchée de X à \(\frac{9}{2}\) près. (0,5 pt)

1. Soient x et y deux nombres réels positifs.
   1. Comparer \(\frac{x}{y+1}\) et \(\frac{3x}{3y+1}\). (1.5 pt)
   2. Comparer \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}\) et \(\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}+1}\) (sans faire de calcul). (1 pt)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations :
   \((E_1): |2x-7|=3\) et \((E_{2}):|2x-3|=|x-5|\). (1.5 pt)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations:
   \((I_{1}):|2x-7|\le3\) et \((I_{2}):|4x-6|\ge2\). (1.5 pt)

1. Donner l’écriture scientifique du nombre suivant: (1.5pts)
   \(\frac{10^{3}\times2^{3}\times10^{-8}\times400}{0,0001\times2^{5}\times10^{5}\times10^{-3}}\)
2. Factoriser les expressions suivantes: (2pts)
   \(A=x^{3}-1+x^{2}-x\) et \(B=2x(x-3)-3x^{2}+27\)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes: (2pts)
   \(|2x-3|=2\) et \(\sqrt{(2x-1)^{2}}=|x+3|\)

1. Soient a et b deux nombres réels tels que: \(|a+3|\le1\) et \(1\le b\le3\). Montrer que \(-4\le a\le-2\) et \(|a+b+1|\le2\). (1.75pts)
2. On considère le nombre réel \(A=2b-3a+ab\).
   1. Vérifier que \(A=(a+2)(b-3)+6\). (0.75pts)
   2. Montrer que \(6\le A\le10\) et déterminer l’amplitude de cet encadrement. (1.5pts)

Soit a un nombre réel.

1. Montrer que: \(\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}-1=\frac{-a^{2}}{\sqrt{1+a^{2}}+1+a^{2}}\). (1pts)
2. 1. Montrer que \(\sqrt{1+a^{2}}+1+a^{2}\ge2\). (1pts)
   2. En déduire que : \(|\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}-1|\le\frac{1}{2}a^{2}\). (1.5pts)
   3. Déterminer une valeur approchée du nombre \(\frac{1}{\sqrt{1,0004}}\) à \(2\times10^{-4}\) près. (On prend \(a=0,02\)). (1pts)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On considère les points \(A(3,-2)\), \(B(1;1)\), \(C(3;2)\) et \(D(-1;4)\).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) puis déduire que les points A, B et D ne sont pas alignés. (1.5pts)
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). (1pts)

On considère les droites (D) et \((\Delta)\) définies par :
\((\Delta): \begin{cases}x=1+3t\\ y=2+t\end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \((D): 2x-y+5=0\).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D’)\) qui passe par C et parallèle à (D). (1pts)
4. 1. Montrer que les droites (D) et \((\Delta)\) sont sécantes. (0.5pts)
   2. Déterminer I le point d’intersection des droites (D) et \((\Delta)\). (1.25pts)
5. On considère la droite (T) d’équation \(2x+my+2=0\) tel que \(m \in \mathbb{R}\). Déterminer la valeur de m pour laquelle (D) est parallèle à (T). (0.75pts)