1. Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) par: \(f(x)=2x+\frac{8}{x}\) et \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
   1. Les points suivants \(A(1;10)\); \(B(-2;-1)\) appartiennent-ils à \((C_{f})\) ?
   2. Montrer que la fonction f est impaire.
   3. Montrer que 8 est une valeur minimale de f sur \(]0;+\infty[\).
   4. Soient a et b deux éléments distincts de \(D_{f}\).
      1. Vérifier que: \(T_{f}(a;b)=\frac{2}{ab}(ab-4)\).
      2. Montrer que f est décroissante sur \(]0; 2]\).
      3. Montrer que f est strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
      4. Donner le tableau de variations de f sur \(\mathbb{R}^{*}\).
      5. Déduire que si \(x\in[1;2]\) alors \(8\le f(x)\le10\).

2. Soit h et g deux fonctions définies par: \(h(x)=\sqrt{x^{2}+6x+9}\) et \(g(x)=|x+3|\).
   1. Déterminer le domaine de définition des fonctions h et g.
   2. Montrer que h et g sont égales.

Soit ABC un triangle tels que \(AB=3\), \(AC=2\) et \(\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3}\).

1. Montrer que \(BC=\sqrt{7}\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB}.\vec{AC}\).
3. On considère le point D tel que \(\vec{AD}=\vec{AB}-3\vec{AC}\).
   1. Montrer que \(\vec{AD}.\vec{AB}=0\).
   2. Déduire la nature du triangle ABD.

4. Soit le I milieu du segment [AB] et M un point tel que \(IM=5\) et \(M\notin(AB)\).
   1. Calculer \(MA^{2}+MB^{2}\) (tu peux utiliser le théorème de la médiane ).
   2. Calculer \(\vec{MA}.\vec{MB}\).

1. Déterminer le domaine de définition du fonction f définie par \(f(x)=\sqrt{-x^{2}}\).
2. Soit g une fonction impaire tel que \(0\in(D_{g})\). Montrer que \(g(0)=0\).

Soit f la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=-x^{2}+4x-3\) et soit \((C_{f})\) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).

1. Montrer que pour tout réel \(x:f(x)=-(x-2)^{2}+1\).
2. Donner le tableau de variation de f.
3. 1. Déterminer la nature de \((C_{f})\) et ses éléments caractéristiques.
   2. Déterminer les coordonnées des points A, B et C intersections de \((C_{f})\) avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

4. Soit g la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(g(x)=x-3\) et soit \((C_{g})\) la courbe représentative de g dans \((O;\vec{i};\vec{j})\).
   1. Déterminer les coordonnées des points H et F intersections de \((C_{f})\) et \((C_{g})\).
   2. Construire \((C_{f})\) et \((C_{g})\) dans le même repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).

5. 1. En déduire graphiquement l’ensemble des solutions dans \(\mathbb{R}\) de l’inéquation \(f(x)

   2. Résoudre graphiquement dans \(]-\infty;4]\) l’inéquation \(f(x)<0\).

Soit f la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}-\{1\}\) par: \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\). Soit \((C_{f})\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).

1. 1. Montrer que \(f(x)=2+\frac{3}{x-1}\) pour tout x de \(\mathbb{R}-\{1\}\).
   2. Donner la nature de \((C_{f})\) et ses éléments caractéristiques.

2. 1. Déterminer l’intersection de \((C_{f})\) avec les axes du repère.
   2. Tracer \((C_{f})\).
   3. En déduire les variations de f sur \(]-\infty;1[\) et \(]1;+\infty[\), puis comparer \(f(2019)\) et \(f(2020)\).