1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passante par le point \(A(-5;7)\) et \(\vec{u}(3;-2)\) son vecteur directeur. (0.5 pt)
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passante par \(A(9;0)\) et \(\vec{u}(0;-2)\). (0.5 pt)
3. Soit la droite \((L):2x+y-3=0\).
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite (L). (0.5 pt)
   2. Est-ce que le point \(C(1;2)\in(L)\) ? (0.5 pt)
   3. Étudier la position relative de la droite (L) avec les droites (M) et (N) en déterminant leur point d’intersection s’il existe, telles que: \((M):4x+2y-6=0\) et \((N): \begin{cases}x=t\\ y=t\end{cases}(t\in\mathbb{R})\). (1 pt)
4. Soit la droite (K): \(\begin{cases}x=2021t-1\\ y=t-2022\end{cases}\).
   1. Déterminer par deux méthodes une équation cartésienne de la droite (K). (1 pt)
   2. Donner deux points E et F qui appartiennent à (K). (1 pt)
   3. Est-ce que le point \(H(2020;-2021)\in(K)\) ? (1 pt)
   4. Étudier la position relative de la droite (K) avec la droite (S): \(\begin{cases}x=-k\\ y=k\end{cases}(k\in\mathbb{R})\) et déterminer le point d’intersection s’il existe. (1 pt)
5. Soient les points \(A(-1;3)\), \(B(4;2)\) et \(C(x;2)\).
   1. Construire A et B dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). (0.5 pt)
   2. Déterminer les coordonnées du point I le milieu du segment \([AB]\). (0.5 pt)
   3. Calculer la distance AB. (0.5 pt)
   4. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (0.5 pt)
   5. Quelle est la valeur de x pour que les points A, B et C soient alignés. (0.5 pt)

Soit \(m\in\mathbb{R}\), soit \((D_{m})\) l’ensemble de droites définie par l’équation cartésienne \((D_{m}):(m+1)x-2my+1-3m=0\).

1. Montrer que toutes les droites \((D_{m})\) passent par le point \(A(-1;2)\). (0.5 pt)
2. Déterminer la valeur de m pour que le point \(B(2;-1)\in(D_{m})\). (1 pt)
3. Déterminer la valeur de m pour que \((D_{m})||(\Delta)\) avec \((\Delta):2x-3y+5=0\). (1 pt)

On considère le polynôme défini par: \(P(x)=x^{3}-x^{2}-3x-1\).

1. Montrer que (-1) est une racine du polynôme \(P(x)\). (1 pt)
2. Déterminer par deux méthodes le polynôme \(Q(x)\) tel que: \(P(x)=(x+1)Q(x)\). (2 pts)
3. Calculer \(P(1+\sqrt{2})\) et \(Q(1+\sqrt{2})\). (1 pt)
4. Déterminer le nombre réel b tel que : \(Q(x)=(x-1-\sqrt{2})(x+b)\). (1 pt)
5. Résoudre l’équation \(P(x)=0\). (1 pt)

On considère le polynôme \(R(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x\).

1. Montrer que \(R(n+1)-R(n)=n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\). (1 pt)
2. Soit \(n\in\mathbb{N}^{*}\), à l’aide de la relation précédente calculer la somme \(S=1+2+3+…+n\) en fonction de n. (1 pt)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), soient les points \(A(2;0)\), \(B(3;-1)\) et \(C(1;-1)\).

1. Déterminer les coordonnées de \(\vec{AB}, \vec{AC}\) et \(\vec{BC}\). (3 pts)
2. Les points A, B et C sont-ils alignés? Justifier. (3 pts)
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AC)\). (2 pts)
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) qui passe par B et de vecteur directeur \(\vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}\). (2 pts)
5. Montrer que (AC) et \((\Delta)\) se coupent en un unique point dont on déterminera les coordonnées. (2 pts)

On considère les droites \((D_{m}):(2-3m)x+(1-m)y+3-2m=0\) où \(m\in\mathbb{R}\).

1. Déterminer la valeur de m pour laquelle \((D_{m})\) est parallèle à l’axe des abscisses. (1 pt)
2. Déterminer la valeur de m pour laquelle \((D_{m})\) est parallèle à l’axe des ordonnées. (1 pt)
3. Déterminer la valeur de m pour laquelle \((D_{m})\) est parallèle à la droite \((\Delta): 2x-y-2=0\). (2 pts)

Soit \(x\in\mathbb{R}\).

1. Montrer que: \(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-1=\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}}\). (1 pt)
2. Montrer que: \(\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}\ge2\). (1 pt)
3. En déduire que \(|\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-1|<\frac{1}{2}x^{2}\). (1 pt)
4. Déterminer une valeur approchée de \(\frac{1}{\sqrt{1.0004}}\) à \(2 \times 10^{-4}\) près. (1 pt)

On considère le polynôme: \(P(x)=2x^{3}-mx^{2}+27x-10\).

1. Déterminer la valeur du réel m pour que le polynôme \(P(x)\) soit divisible par \(x-2\). (1,5 pts)

Dans le reste de l’exercice, on prend: \(m=15\).

2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que: \(P(x)=(x-2)Q(x)\). (1,5 pts)
3. Vérifier que 5 est une racine du polynôme \(Q(x)\). (0.5 pt)
4. En déduire une factorisation du polynôme \(P(x)\) en produits de polynômes de degré 1. (1 pt)
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation: \(P(x)\ge0\). (1 pt)

Les notes obtenues par les élèves du tronc commun scientifique 1 dans le deuxième devoir de mathématiques sont : 12-9-18-14-11-13-11-12-13-13-14-15-8-16-13-12-14-17-12.

1. Organiser ces notes dans un tableau statistique et calculer les effectifs cumulés. (1 pt)
2. Déterminer le mode et l’étendue de cette série statistique. (1 pt)
3. Déterminer la valeur médiane de cette série statistique. (0.5 pt)
4. Calculer la moyenne arithmétique M de cette série statistique. (0.5 pt)
5. Calculer la variance et l’écart type de cette série statistique. (1,5 pts)

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation: \(|1-2x|+|x-3|=3x-2\). (1,5 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les deux équations: \(x^{2}+x-6=0\) et \((x^{2}-x+2)(x+1)=0\). (1+1 pts)
   Puis l’inéquation : \(\frac{x^{2}+x-6}{(x^{2}-x+2)(x+1)}>0\). (1 pt)
3. En utilisant la méthode des déterminants, résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système suivant : \(\begin{cases}2x-5y=13\\ x+2y=11\end{cases}\). (1,5 pts)
   Puis en déduire les solutions du système : \(\begin{cases}2x^{2}-5y^{2}=13\\ x^{2}+2y^{2}=11\end{cases}\). (1 pt)
4. Factoriser dans \(\mathbb{R}\) le polynôme: \(x^{4}-6x^{2}+5\) en produits de polynômes de degré 1. (1 pt)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation suivante: \(2x-3y-1\ge0\). (1 pt)
6. On considère l’équation \((E):x^{2}-6x+5=0\).
   1. Vérifier que l’équation (E) admet deux solutions distinctes \(x_{1}\) et \(x_{2}\). (0,5 pt)
   2. Sans déterminer \(x_{1}\) et \(x_{2}\), calculer la valeur de : \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) et \(x_{2}^{2}x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}^{3}\). (1 pt)

Dans le plan muni du repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A(1;-2)\), \(B(2;0)\) et \(C(-1;0)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passante par A et C.
3. Soit (D) la droite définie par l’équation cartésienne: \(2x+3y+2=0\).
   1. Vérifier que \(C\in(D)\) puis donner un vecteur directeur de (D).
   2. Donner une représentation paramétrique de (D).
4. Soit \((D’)\) la droite définie par la représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=7-6t\\ y=-6+4t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\).
   1. Montrer que \((D)//(D’)\).
   2. Vérifier que \(A\in(D’)\).
5. Soit \((\Delta)\) la droite définie par l’équation cartésienne: \(x+y-1=0\).
   1. Montrer que \((\Delta)\) et \((D’)\) sont concourantes.
   2. Déterminer D le point d’intersection des deux droites \((\Delta)\) et \((D’)\).

1. Soient \(P(x)\) et \(Q(x)\) deux polynômes tels que \(P(x)=4x^{2}+(a+2)x+5\) et \(Q(x)=(b+3)x^{2}+3x+c\). Déterminer a, b et c pour que \(P(x)=Q(x)\).
2. Déterminer le nombre a sachant que -1 est une racine de \(R(x)=2x^{3}+9x^{2}+ax+3\).

Soit \(P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\).

1. Déterminer le degré du polynôme P.
2. Montrer que 3 est une racine de \(P(x)\).
3. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-3)Q(x)\).
4. Montrer que \(Q(x)\) est divisible par \((x+2)\).
5. Factoriser \(Q(x)\), puis déduire la factorisation en produit des binômes.
6. Résoudre l’équation \(P(x)=0\).