ABC un triangle tel que \(AB=3, AC=1\) et \(\cos(\hat{BAC}) = -\frac{1}{3}\).

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB}.\vec{AC}\).
2. Montrer que \(BC = 2\sqrt{3}\).
3. Soit I le milieu du segment [AB], calculer CI.
4. 1. Calculer par deux méthodes le produit scalaire \(\vec{CA}.\vec{CB}\).
   2. En déduire que \(\cos(\hat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

5. Soit D le point tel que \(\vec{AD} = \frac{4}{9}\vec{AB}\) et F le milieu du segment [BC].
   1. Écrire le vecteur \(\vec{DF}\) en fonction de \(\vec{DB}\) et \(\vec{DC}\).
   2. En déduire que \(\vec{DF} = \frac{1}{18}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\).
   3. Montrer que \(DF = \frac{\sqrt{2}}{3}\).
   4. Montrer que \((DF) \perp (AB)\).
   5. En déduire la nature du triangle ADF.

6. En utilisant la formule de Héron, montrer que l’aire du triangle ABC est \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Soit ABC un triangle rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC) tel que \(AH=3\) et \(\hat{ABC} = \frac{\pi}{6}\).

1. Calculer les distances BA, CA, BC, BH et CH.
2. On suppose que \(AB=6\). Déterminer l’ensemble des points M du plan dans les cas suivants :
   1. \(MA^2 + MB^2 = 218\) ;
   2. \(\vec{MA}.\vec{MB} = 40\).

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan, montrer que :

1. \(\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{4}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 – \|\vec{u}-\vec{v}\|^2)\).
2. \(|\vec{u}.\vec{v}| \le \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\).

Soit \(m_1, m_2\) et \(m_3\) les médianes d’un triangle ABC. Montrer que \(m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 = \frac{3}{4}(AB^2 + BC^2 + CA^2)\).

Soit ABCD un parallélogramme, I et J deux points du plan tels que : \(\vec{CI} = \frac{2}{3}\vec{CB}\) et \(\vec{IJ} = \vec{DC}\). On pose \(\vec{u} = \vec{AB}\).

1. Construire une figure convenable.
2. Vérifier que \(t_{\vec{u}}(I) = J\), \(t_{\vec{u}}(A) = B\) et déduire que \(t_{\vec{u}}((AI)) = (BJ)\).
3. 1. Soit h une homothétie, montrer que \(h((BA)) // (DC)\).
   2. On suppose que \(h(B) = C\) montrer que \(h((BA)) = (DC)\) (remarquer que \(B \in (BA)\)).

4. Dans la suite de cette partie on suppose que \(h(B)=C\) et que I est le centre de h.
   1. Montrer que le rapport de h est \(k=-2\).
   2. Soit E l’image de J par h. Montrer que \(\vec{EC} = -2\vec{JB}\), \(\vec{EI} = -2\vec{AI}\) et \(\vec{AI} = -\frac{1}{2}\vec{CE}\).

5. Soit F le point d’intersection des droites (BA) et (ID), montrer que \(h(F)=D\).
6. On pose \(h(A) = A’\) montrer que les points D, C et A’ sont alignés.

Soit ABCD un parallélogramme, E le point du plan tel que : \(\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{AD}\). Soit F la projeté de E sur (AC) parallèlement à (DC).

On considère l’homothétie h de centre A tel que \(h(D)=E\).

1. Montrer que le rapport de l’homothétie h est \(k=\frac{3}{2}\).
2. Déterminer l’image du point C par l’homothétie h.
3. En déduire la distance EF en fonction de DC.
4. Soit J l’image de A par la translation de vecteur \(\vec{EF}\).
   1. Montrer que \(h(B)=J\).
   2. En déduire que \((BD) // (JE)\).

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Les points N et M sont les milieux respectifs des segments [BF] et [AB].

1. Construire la figure.
2. Montrer que \((CG) \perp (AB)\), \((AF) \parallel (MN)\) et \((DG) \parallel (MN)\).
3. Montrer que les droites (MN) et (EF) sont sécantes.
4. Montrer que les droites (MN) et (FG) ne sont pas coplanaires.
5. Montrer que \((MN) \subset (AEF)\), \((EM) \parallel (DCG)\) et \((MBN) \perp (EH)\).
6. Montrer que la droite (EN) coupe le plan (ABC).
7. Montrer que \((MBN)=(AEF)\), \((NFG) \parallel (ADH)\) et \((AEH) \perp (MBC)\).
8. Montrer que les plans (BCH) et (ADF) sont sécants.