Diagonalisation d’une Matrice Symétrique Réelle : la Méthode
Les matrices symétriques réelles sont au cœur de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Leur grande force vient d’une propriété remarquable garantie par le Théorème Spectral : elles sont toujours diagonalisables, et ce, dans une base orthonormale. La méthode pour y parvenir est systématique.
- Calculer le polynôme caractéristique et trouver les valeurs propres. Pour une matrice symétrique réelle, elles seront toutes réelles.
- Trouver une base pour chaque sous-espace propre. Pour des valeurs propres distinctes, les sous-espaces propres associés sont automatiquement orthogonaux entre eux.
- Orthonormaliser chaque base de sous-espace propre. Si un sous-espace propre est de dimension 1, il suffit de normaliser le vecteur. S’il est de dimension supérieure à 1, on utilise le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonormale de cet espace.
- Construire la matrice de passage P. On concatène les bases orthonormales de tous les sous-espaces propres. Les vecteurs obtenus forment une base orthonormale de l’espace entier. La matrice $P$ dont les colonnes sont ces vecteurs est une matrice orthogonale (c’est-à-dire que $P^{-1} = P^T$).
- Écrire la relation de diagonalisation. La matrice diagonale $D$ contient les valeurs propres sur sa diagonale. On a la relation $A = PDP^T$ (ou $D = P^T A P$).
Exemple 1 : Matrice 2×2 avec valeurs propres distinctes
Soit $A = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$. C’est une matrice symétrique.
1. Valeurs propres : $\chi_A(X) = X^2 – 15X + 50 = (X-5)(X-10)$. Les valeurs propres sont $\lambda_1=5$ et $\lambda_2=10$.
2. Vecteurs propres :
– Pour $\lambda_1=5$, $E_5 = \text{Ker}(A-5I) = \text{Ker}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \text{Vect}((2,1))$.
– Pour $\lambda_2=10$, $E_{10} = \text{Ker}(A-10I) = \text{Ker}\begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \text{Vect}((1,-2))$.
3. Orthonormalisation : On normalise chaque vecteur.
– $v_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$.
– $v_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1,-2)$.
(On peut vérifier que $\langle v_1, v_2 \rangle = 0$, comme attendu).
4. Matrices P et D :
$P = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$.
Exemple 2 : Matrice 3×3 avec une valeur propre double
Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.
1. Valeurs propres : On a déjà vu que $\chi_A(X) = -(X-3)^2(X-0)$. Les valeurs propres sont $\lambda_1=3$ (double) et $\lambda_2=0$ (simple).
2. Sous-espaces propres :
– Pour $\lambda_2=0$, $E_0 = \text{Ker}(A) = \text{Vect}((1,1,1))$.
– Pour $\lambda_1=3$, $E_3 = \text{Ker}(A-3I)$ est le plan d’équation $x+y+z=0$. Une base est par exemple $(u_1, u_2)$ avec $u_1=(1,-1,0)$ et $u_2=(1,0,-1)$.
3. Orthonormalisation :
– Pour $E_0$, on normalise le vecteur : $v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.
– Pour $E_3$, la base $(u_1, u_2)$ n’est pas orthogonale. On applique Gram-Schmidt :
$w_1 = u_1 = (1,-1,0)$.
$w_2 = u_2 – \frac{\langle u_2, w_1 \rangle}{\|w_1\|^2}w_1 = (1,0,-1) – \frac{1}{2}(1,-1,0) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1)$.
On normalise $w_1$ et $w_2$ :
$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ et $v_3 = \frac{1}{\sqrt{3/2}}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$.
4. Matrices P et D :
$P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & 0 & -2/\sqrt{6} \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.
Exemple 3 : Matrice 3×3 avec valeurs propres distinctes
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
1. Valeurs propres : $\chi_A(X) = (X-1)(X-2)(X+1)$. Les valeurs propres sont $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=-1$.
2. Vecteurs propres :
– $E_1 = \text{Vect}((1,0,-1))$.
– $E_2 = \text{Vect}((1,1,1))$.
– $E_{-1} = \text{Vect}((1,-2,1))$.
3. Orthonormalisation : Les sous-espaces sont de dimension 1, on normalise juste chaque vecteur.
$v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)$, $v_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$, $v_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)$.
4. Matrices P et D :
$P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{3} & -2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.