Soit $K$ un corps commutatif. Un polynôme $P \in K[X]$ est dit scindé sur $K$ s’il peut être factorisé en un produit de polynômes du premier degré à coefficients dans $K$. Autrement dit, $P$ s’écrit sous la forme : $$ P(X) = c \prod_{i=1}^r (X – \lambda_i)^{m_i} $$ où $c \in K$, les $\lambda_i \in K$ sont les racines distinctes de $P$, et les $m_i$ sont leurs multiplicités.
Remarque
- Si un corps $K$ est algébriquement clos, alors tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ est scindé sur $K$.
- Le théorème de d’Alembert-Gauss stipule que le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes est algébriquement clos.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est diagonalisable sur $K$ si l’une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
- Il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice diagonale.
- Il existe une base de $E$ constituée uniquement de vecteurs propres de $u$.
Remarque
- Si $u$ est diagonalisable, la matrice diagonale qui le représente dans une base de vecteurs propres a pour éléments diagonaux les valeurs propres de $u$. Chaque valeur propre apparaît autant de fois que sa multiplicité géométrique (la dimension de son sous-espace propre).
- Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$.
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $u$ est diagonalisable sur $K$.
- Le polynôme minimal $M_u$ est scindé sur $K$ et n’a que des racines simples.
- $E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $u$.
- Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$, et pour chaque valeur propre $\lambda_i$ de multiplicité (algébrique) $m_i$, la dimension du sous-espace propre associé est égale à $m_i$ (multiplicité géométrique = multiplicité algébrique).
Si le polynôme caractéristique $\chi_u$ d’un endomorphisme $u$ est scindé sur $K$ et n’a que des racines simples, alors $u$ est diagonalisable.
Démonstration
Le polynôme minimal $M_u$ divise le polynôme caractéristique $\chi_u$. Si $\chi_u$ n’a que des racines simples, alors $M_u$ ne peut avoir que des racines simples également. D’après le théorème précédent (condition ii), $u$ est diagonalisable.
Un endomorphisme d’un espace de dimension $n$ qui possède $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Démonstration
Si $u$ a $n$ valeurs propres distinctes, son polynôme caractéristique, qui est de degré $n$, a $n$ racines distinctes. Il est donc scindé à racines simples. D’après le corollaire précédent, $u$ est diagonalisable.
Remarque
- Un projecteur est toujours diagonalisable (son polynôme minimal divise $X^2-X$, qui est scindé à racines simples).
- Sur $\mathbb{C}$, un endomorphisme $u$ tel que $u^m=Id_E$ est diagonalisable (son polynôme minimal divise $X^m-1$, qui est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$).
- Si $\lambda \neq 0$ est une valeur propre de $u$, alors le sous-espace propre $E_\lambda$ est inclus dans l’image $Im(u)$.
- Si $u$ est diagonalisable, alors $E = Ker(u) \oplus Im(u)$.
- Si $u$ est diagonalisable et $F$ est un sous-espace stable par $u$, alors l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ est aussi diagonalisable.