Endomorphismes en Espace Hermitien : Adjoint, Normal, Hermitien et Unitaire

Endomorphismes d’un Espace Hermitien

Endomorphisme adjoint

Proposition : Existence et Unicité de l’Adjoint

Soit $E$ un espace hermitien. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique endomorphisme $v$ de $E$ qui satisfait la relation suivante pour tous vecteurs $x, y \in E$ : $$ \langle u(x), y \rangle = \langle x, v(y) \rangle $$ Cet endomorphisme unique $v$ est appelé l’adjoint de $u$ et est noté $u^*$.

Remarque

  1. L’application $u \mapsto u^*$ est semi-linéaire : $(u+v)^* = u^*+v^*$ et $(\lambda u)^* = \overline{\lambda}u^*$.
  2. On a $(u^*)^* = u$ et $(v \circ u)^* = u^* \circ v^*$.
  3. Si $\beta$ est une base orthonormale de $E$ et $A = Mat(u, \beta)$, alors $Mat(u^*, \beta) = A^* = {}^t\overline{A}$.
  4. $Ker(u^*) = (Im(u))^\perp$ et $Im(u^*) = (Ker(u))^\perp$.
  5. Si un sous-espace $F$ est stable par $u$, alors son orthogonal $F^\perp$ est stable par $u^*$.

Endomorphismes normaux

Définition : Endomorphisme Normal

Un endomorphisme $u$ d’un espace hermitien $E$ est dit normal s’il commute avec son adjoint : $$ u \circ u^* = u^* \circ u $$

Théorème : Caractérisation des Endomorphismes Normaux

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace hermitien $E$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. $u$ est normal.
  2. Il existe une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$.
  3. Pour tout $x \in E$, $\|u(x)\| = \|u^*(x)\|$.
  4. Les sous-espaces propres de $u$ sont deux à deux orthogonaux.

Endomorphismes hermitiens

Définition : Endomorphisme Hermitien

Un endomorphisme $u$ d’un espace hermitien $E$ est dit hermitien (ou autoadjoint) s’il est égal à son propre adjoint : $u^* = u$.

Remarque

Un endomorphisme $u$ est hermitien si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est hermitienne ($A^*=A$).

Théorème : Propriétés des Endomorphismes Hermitiens

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace hermitien $E$.

  1. Si $u$ est hermitien, alors ses valeurs propres sont toutes réelles.
  2. $u$ est hermitien si et seulement si pour tout $x \in E$, la valeur $\langle u(x), x \rangle$ est réelle.
  3. Un endomorphisme $u$ est hermitien si et seulement s’il est normal et que toutes ses valeurs propres sont réelles.

Endomorphismes unitaires

Définition : Endomorphisme Unitaire

Un endomorphisme $u$ d’un espace hermitien $E$ est dit unitaire s’il conserve le produit scalaire hermitien : $$ \forall x,y \in E, \quad \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x,y \rangle $$

Remarque

Un endomorphisme $u$ est unitaire si et seulement si $u^*u = Id_E$. Cela implique que $u$ est un automorphisme et que $u^{-1}=u^*$. Sa matrice dans une base orthonormale est une matrice unitaire ($A^*A=I$).

Théorème : Propriétés des Endomorphismes Unitaires

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace hermitien $E$.

  1. Si $u$ est unitaire, alors ses valeurs propres sont des nombres complexes de module 1.
  2. Un endomorphisme $u$ est unitaire si et seulement s’il est normal et que toutes ses valeurs propres sont de module 1.