Une équation différentielle linéaire homogène d’ordre n à coefficients constants est une équation de la forme : $$ y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \dots + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = 0 $$ où les $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ sont des scalaires (réels ou complexes) et $y: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ est la fonction inconnue.
Résolution Pratique
La résolution d’une telle équation peut être ramenée à celle d’un système différentiel du premier ordre. Pour cela, on introduit le vecteur $Y(t) \in \mathbb{R}^n$ dont les composantes sont la fonction $y$ et ses dérivées successives : $$ Y(t) = \begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(t) \end{pmatrix} $$ La dérivation de ce vecteur donne $Y'(t) = AY(t)$, où $A$ est la matrice compagnon associée à l’équation : $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \dots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix} $$ On peut montrer que le polynôme caractéristique de cette matrice $A$ est précisément : $$ \chi_A(r) = r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 $$
L’équation polynomiale $r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0$ est appelée l’équation caractéristique de l’équation différentielle.
Remarque
- Si l’équation caractéristique admet des racines réelles $\mu_j$ de multiplicités $n_j$ et des paires de racines complexes conjuguées $\alpha_i \pm i\beta_i$ de multiplicités $m_i$, la solution réelle générale de l’équation différentielle est une combinaison linéaire de fonctions de la forme : $$ y(t) = \sum_{j} e^{\mu_j t} R_j(t) + \sum_{i} e^{\alpha_i t} (P_i(t)\cos(\beta_i t) + Q_i(t)\sin(\beta_i t)) $$ où $R_j, P_i, Q_i$ sont des polynômes en $t$ de degrés respectifs inférieurs à $n_j, m_i, m_i$.
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Cas particulier de l’ordre 2 : Pour l’équation $y » + by’ + cy = 0$, on résout l’équation caractéristique $r^2+br+c=0$. Soit $\Delta = b^2-4c$ son discriminant.
- Si $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$), la solution est $y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$.
- Si $\Delta = 0$ (une racine réelle double $r_0$), la solution est $y(t) = (C_1 t + C_2) e^{r_0 t}$.
- Si $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$), la solution est $y(t) = e^{\alpha t}(C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t))$.