Généralités
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
- $\left(E_1\right): \dfrac{3 x+1}{2}=x-\dfrac{x-1}{2}$
- $\left(E_2\right): 2 x+4=3(x-2)-x+8$
- $\left(E_3\right): \sqrt{2}(x-3)+1=1-\sqrt{2}(3-x)$
- $\left(E_4\right): 4(x-1)^2-25=0$
- $\left(E_5\right): \dfrac{3 x-1}{2 x+3}=0$
- $\left(E_6\right):|2 x+3|=|x-2|$
- Discuter selon les valeurs de $m$ les solutions des équations suivantes :
- $\left(E_1\right): m x+5=x-1$
- $\left(E_2\right): 2 x+4 m=3(x-m)+8$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
- $\left(E_1^{\prime}\right):-4 x+7 \leq 2 x+14$
- $\left(E_2^{\prime}\right) : 2(x-1)-(3 x-5) \leq 6 x+7+4(x-3)$
Signe du binôme $ax+b \quad(a \neq 0)$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
- $3 x+4 \leq 0$
- $3 x+4 \geq 0$
- Compléter le tableau suivant en utilisant « + » ou « -« .
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{4}{3}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $3x+4$ | $0$ |
Le tableau au-dessus est appelé tableau de signe du binôme $ax+b$.
Donner le tableau de signe de $-2x+6$.
Le tableau de signe de $ax+b$ est :
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{a}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $ax+b$ | Signe de $-a$ | $0$ | Signe de $a$ |
On pose $p(x)=(2 x-5)(-3 x+4)$.
- Poser le tableau de signe de $(-3 x+4)$ et $(2 x-5)$.
- En déduire le signe de $p(x)$.
- En déduire les solutions de l’inéquation $p(x) \leq 0$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
- $\left(E_1\right): 4 x^2-25 \geq 0$
- $\left(E_2\right):(4 x-5)(2 x+7)(1-x)^2>0$
- $\left(E_3\right): \dfrac{(3 x-1)(x+2)}{2 x+5}<0$
Généralités
-
- a. Vérifier que : $x^2-6 x+5=(x-3)^2-4$
- b. En déduire les solutions de l’équation : $x^2-6 x+5=0$.
L’écriture $(x-3)^2-4$ est appelée l’écriture canonique du polynôme $x^2-6 x+5$.
- Donner l’écriture canonique du polynôme $x^2-x-2$ puis résoudre l’équation $x^2-x-2=0$.
Soit $p(x)=a x^2+b x+c$ un trinôme du second degré tels que $a, b$ et $c$ des réels et $a \neq 0$.
On a :
$$ \begin{gathered} a x^2+b x+c=a\left[x^2+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a}\right] \\ =a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{(2 a)^2}\right] \\ =a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^2-\dfrac{b^2-4 a c}{(2 a)^2}\right] \end{gathered} $$Pour simplifier les calculs on pose : $\Delta=b^2-4 a c$, on obtient :
$$ a x^2+b x+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4 a^2}\right] $$Le nombre $\Delta$ est appelé le discriminant de $a x^2+b x+c$.
Pour Résoudre l’équation $(a \neq 0) \quad(E): a x^2+b x+c=0$ on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4 a c$. On a les cas suivants:
- Si $\Delta < 0$, alors l'équation (E) n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ et on écrit: $S=\varnothing$.
- Si $\Delta = 0$, alors l’équation (E) admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ qui est $-\dfrac{b}{2 a}$ et on écrit: $S=\left\{-\dfrac{b}{2 a}\right\}$.
- Si $\Delta > 0$, alors l’équation (E) admet deux solutions différentes $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ dans $\mathbb{R}$ et on écrit: $S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} ; \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}\right\}$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
- $\left(E_1\right): 2 x^2+2 x-12=0$
- $\left(E_2\right): 5 x^2-4 x+2=0$
- $\left(E_3\right): 3 x^2-4 x=0$
- $\left(E_4\right): 3 x^2+4=0$
- $\left(E_5\right): x^2-2 \sqrt{3} x+1=0$
Factorisation d’un trinôme du second degré
Soit $p(x)=a x^2+b x+c$ un trinôme du second degré tels que $a, b$ et $c$ des réels et $a \neq 0$ et soit $\Delta$ son discriminant. On a les cas suivants:
- Si $\Delta < 0$, alors le polynôme $p(x)$ n'admet pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$, alors : $p(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^2$.
- Si $\Delta > 0$, alors : $p(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ tels que : $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$.
Factoriser, si possible, les polynômes suivants :
- $P_1(x)=2 x^2+2 x-12$
- $P_2(x)=5 x^2-4 x+2$
- $P_3(x)=3 x^2-4 x$
- $P_4(x)=3 x^2+4$
- $P_5(x)=x^2-2 \sqrt{3} x+1$
Si l’équation $(a \neq 0) \quad(E): a x^2+b x+c=0$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$, alors :
$$ x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \text { et } \quad x_1 \times x_2=\dfrac{c}{a} $$- Sachant que 1 est une solution de $2018 x^2-x-2017=0$, trouver la deuxième solution.
- Résoudre le système suivant: $\left\{\begin{array}{l}x+y=13 \\ x y=12\end{array}\right.$.
Signe d’un trinôme du second degré
Soit $p(x)=a x^2+b x+c$ un trinôme du second degré avec $a \neq 0$ et $\Delta$ son discriminant.
- Si $\Delta < 0$, le tableau de signe de $p(x)$ est :
$x$ $-\infty$ $+\infty$ $p(x)$ Signe de $a$ - Si $\Delta = 0$, le tableau de signe de $p(x)$ est :
$x$ $-\infty$ $-\frac{b}{2a}$ $+\infty$ $p(x)$ Signe de $a$ $0$ Signe de $a$ - Si $\Delta > 0$, le tableau de signe de $p(x)$ est (en supposant $x_1 < x_2$) :
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ $p(x)$ Signe de $a$ $0$ Signe de $-a$ $0$ Signe de $a$