Espace Vectoriel Quotient

Espace Vectoriel Quotient
Proposition : Structure de l’Espace Vectoriel Quotient

Soit $E$ un K-espace vectoriel et $F$ un de ses sous-espaces vectoriels. L’ensemble quotient $E/F$, qui est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation $x \sim y \iff x-y \in F$, peut être muni d’une structure de K-espace vectoriel.

En plus de l’addition de classes, on définit une loi de composition externe de la manière suivante : $$ K \times E/F \longrightarrow E/F $$ $$ (\lambda, \bar{x}) \longmapsto \lambda \cdot \bar{x} = \overline{\lambda \cdot x} $$ Cet espace, noté $(E/F, +, \cdot)$, est appelé l’espace vectoriel quotient de $E$ par $F$.

Démonstration

Pour que la structure soit valide, nous devons d’abord nous assurer que la loi externe est bien définie, c’est-à-dire que le résultat ne dépend pas du représentant choisi pour la classe d’équivalence. Soient $\bar{x} = \bar{y}$, ce qui signifie que $x-y \in F$. On doit montrer que $\overline{\lambda \cdot x} = \overline{\lambda \cdot y}$. Cela revient à vérifier si $\lambda \cdot x – \lambda \cdot y \in F$. Or, $\lambda \cdot x – \lambda \cdot y = \lambda \cdot (x-y)$. Comme $F$ est un sous-espace vectoriel, il est stable par multiplication par un scalaire. Puisque $x-y \in F$, alors $\lambda \cdot (x-y) \in F$. La loi est donc bien définie.

Vérifions maintenant les quatre axiomes d’un espace vectoriel :

  1. $\forall \bar{x} \in E/F, \quad 1 \cdot \bar{x} = \overline{1 \cdot x} = \bar{x}$.
  2. $\forall \alpha, \beta \in K, \forall \bar{x} \in E/F, \quad (\alpha + \beta) \cdot \bar{x} = \overline{(\alpha + \beta) \cdot x} = \overline{\alpha \cdot x + \beta \cdot x} = \overline{\alpha \cdot x} + \overline{\beta \cdot x} = \alpha \cdot \bar{x} + \beta \cdot \bar{x}$.
  3. $\forall \alpha, \beta \in K, \forall \bar{x} \in E/F, \quad (\alpha\beta) \cdot \bar{x} = \overline{(\alpha\beta) \cdot x} = \overline{\alpha \cdot (\beta \cdot x)} = \alpha \cdot \overline{\beta \cdot x} = \alpha \cdot (\beta \cdot \bar{x})$.
  4. $\forall \alpha \in K, \forall \bar{x}, \bar{y} \in E/F, \quad \alpha \cdot (\bar{x} + \bar{y}) = \alpha \cdot \overline{x+y} = \overline{\alpha \cdot (x+y)} = \overline{\alpha \cdot x + \alpha \cdot y} = \overline{\alpha \cdot x} + \overline{\alpha \cdot y} = \alpha \cdot \bar{x} + \alpha \cdot \bar{y}$.

Tous les axiomes étant satisfaits, $E/F$ est bien un K-espace vectoriel.