Un K-espace vectoriel $E$ est dit de dimension finie sur $K$ s’il admet au moins une partie génératrice finie. Si une telle partie n’existe pas, l’espace est dit de dimension infinie.
Exemples
- Pour tout $n \ge 1$, l’espace $K^n$ est de dimension finie, car la base canonique $\{e_1, \dots, e_n\}$ est une partie génératrice finie.
- De même, l’espace des polynômes $K_n[X]$ de degré au plus $n$ est de dimension finie, engendré par $\{1, X, \dots, X^n\}$.
- Si $E$ est de dimension finie, tout sous-espace vectoriel de $E$ l’est également.
- Si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie, alors l’espace quotient $E/F$ est aussi de dimension finie.
Ce théorème central établit une relation fondamentale entre la taille des familles libres et génératrices. Il repose sur le lemme suivant.
Soit $E$ un K-espace vectoriel. Si une partie $A$ de cardinal $n$ engendre $E$ (ou un sous-espace de $E$), alors toute partie $B$ de $Vect(A)$ ayant un cardinal de $n+1$ est nécessairement liée.
Dans un espace vectoriel de dimension finie, le cardinal de toute partie libre est inférieur ou égal au cardinal de toute partie génératrice.
Un K-espace vectoriel $E$ est de dimension infinie si et seulement s’il contient une partie libre infinie.
Remarque
L’ensemble des nombres transcendants (comme $\pi$ ou $e$) est non vide. Si $\alpha$ est un tel nombre, la famille $\{1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^n, \dots\}$ est une partie libre infinie de $\mathbb{R}$ considéré comme un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel. Par conséquent, $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension infinie.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit $L$ une partie libre et $A$ une partie génératrice de $E$ telles que $L \subseteq A$. Alors, il est possible de construire une base $B$ de $E$ qui contient $L$ et qui est contenue dans $A$. $$ L \subseteq B \subseteq A $$
Démonstration
On considère l’ensemble $\mathcal{A}$ de toutes les parties libres $G$ telles que $L \subseteq G \subseteq A$. Cet ensemble est non vide car $L \in \mathcal{A}$. Le cardinal de tout élément de $\mathcal{A}$ est majoré par la dimension de $E$. Il existe donc un élément $B \in \mathcal{A}$ de cardinal maximal. Montrons que $B$ est une base. Par construction, $B$ est libre. Si $B$ n’était pas génératrice de $E$, alors $A \not\subseteq Vect(B)$. On pourrait donc trouver un $x \in A$ tel que $x \notin Vect(B)$. D’après un lemme précédent, $B \cup \{x\}$ serait une partie libre. De plus, $L \subseteq B \cup \{x\} \subseteq A$, donc $B \cup \{x\} \in \mathcal{A}$. Ceci contredit la maximalité du cardinal de $B$. Donc $Vect(B)=E$, et $B$ est une base.
- Toute partie libre d’un espace de dimension finie peut être complétée pour former une base.
- De toute partie génératrice d’un espace de dimension finie, on peut extraire une base.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie.
- Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces supplémentaires ($E=F \oplus G$), alors $\dim(E) = \dim(F) + \dim(G)$.
- (Formule de Grassmann) Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces quelconques, alors $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) – \dim(F \cap G)$.
- Si $F$ est un sous-espace, alors $\dim(E/F) = \dim(E) – \dim(F)$.