Considérons un groupe commutatif $(E, +)$ et un corps commutatif $(K, +, \times)$. On définit $E$ comme étant un K-espace vectoriel s’il est muni d’une loi de composition externe, de $K \times E$ dans $E$. Cette opération, qui associe un couple $(\alpha, x)$ à un vecteur noté $\alpha \cdot x$, doit satisfaire les quatre axiomes suivants :
- $\forall x \in E, 1_{K} \cdot x = x$.
- $\forall \alpha, \beta \in K, \forall x \in E, (\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x$.
- $\forall \alpha, \beta \in K, \forall x \in E, (\alpha\beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x)$.
- $\forall \alpha \in K, \forall x, y \in E, \alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y$.
Les membres de l’ensemble $E$ sont désignés sous le nom de vecteurs, tandis que les éléments du corps $K$ sont appelés scalaires.
Pour tout K-espace vectoriel $E$, les règles de calcul suivantes sont des conséquences directes des axiomes :
- a) $\forall x \in E, 0_{K} \cdot x = 0_{E}$.
- b) $\forall \lambda \in K, \lambda \cdot 0_{E} = 0_{E}$.
- c) $\forall \lambda \in K, \forall x \in E, \lambda \cdot x = 0_{E} \iff \lambda = 0_{K}$ ou $x = 0_{E}$.
Démonstration
a) En utilisant le deuxième axiome, on peut écrire $0_{K} \cdot x = (0_{K} + 0_{K}) \cdot x = 0_{K} \cdot x + 0_{K} \cdot x$. En simplifiant par $0_{K} \cdot x$ dans le groupe $(E, +)$, on obtient bien $0_{K} \cdot x = 0_{E}$.
b) De manière similaire, avec le quatrième axiome, $\lambda \cdot 0_{E} = \lambda \cdot (0_{E} + 0_{E}) = \lambda \cdot 0_{E} + \lambda \cdot 0_{E}$. La simplification donne $\lambda \cdot 0_{E} = 0_{E}$.
c) (Sens direct $\implies$) Supposons que $\lambda \cdot x = 0_{E}$ et que $\lambda \neq 0_{K}$. Notre objectif est de montrer que $x = 0_{E}$. Puisque $\lambda$ est non nul dans le corps $K$, il admet un inverse $\lambda^{-1}$. En multipliant par cet inverse, on a $\lambda^{-1} \cdot (\lambda \cdot x) = \lambda^{-1} \cdot 0_{E} = 0_{E}$. En utilisant le troisième axiome, on a $\lambda^{-1} \cdot (\lambda \cdot x) = (\lambda^{-1}\lambda) \cdot x = 1_{K} \cdot x$. Finalement, le premier axiome nous donne $1_{K} \cdot x = x$, ce qui prouve que $x = 0_{E}$. Le sens réciproque a déjà été établi en a) et b).
Exemples Fondamentaux
- Extensions de corps : Si $L$ est un corps contenant un sous-corps $K$, alors $L$ peut être considéré comme un $K$-espace vectoriel. La multiplication par un scalaire de $K$ est simplement la multiplication interne du corps $L$. Des cas classiques incluent $\mathbb{C}$ en tant que $\mathbb{R}$-espace vectoriel, ou $\mathbb{R}$ en tant que $\mathbb{Q}$-espace vectoriel.
- Espaces de n-uplets $K^n$ : Pour un corps $K$ et $n \ge 1$, l’ensemble $K^n$ des listes ordonnées de $n$ éléments de $K$ est un $K$-espace vectoriel. L’opération externe est définie composante par composante : $\lambda \cdot (x_1, \dots, x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$.
- Espaces de polynômes $K[X]$ : L’ensemble des polynômes à une indéterminée $X$ et à coefficients dans $K$ est un $K$-espace vectoriel. La multiplication d’un polynôme $P = \sum a_i X^i$ par un scalaire $\lambda$ affecte chaque coefficient : $\lambda \cdot P = \sum (\lambda a_i) X^i$.