Étudier la position relative de deux courbes $C_f$ et $C_g$ consiste à déterminer sur quels intervalles l’une est au-dessus de l’autre, et à identifier leurs points d’intersection. La méthode est systématique et repose sur l’étude du signe d’une seule fonction : la différence.
Le Principe Fondamental
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $C_f$, $C_g$ leurs courbes représentatives. Pour étudier leur position relative, on définit la fonction différence : $$d(x) = f(x) – g(x)$$ L’étude de la position relative se ramène alors à l’étude du signe de $d(x)$.
- Si $d(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f(x) > g(x)$, ce qui signifie que $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $I$.
- Si $d(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors $f(x) < g(x)$, ce qui signifie que $C_f$ est en dessous de $C_g$ sur $I$.
- Si $d(x) = 0$ en un point $x_0$, alors $f(x_0) = g(x_0)$, ce qui signifie que les courbes se coupent au point d’abscisse $x_0$.
La Stratégie en 4 Étapes
- Définir et simplifier la fonction différence : On pose $d(x) = f(x) – g(x)$ et on simplifie l’expression au maximum. On précise son domaine de définition.
- Étudier le signe de $d(x)$ : C’est le cœur de l’analyse. On utilise les techniques habituelles : factorisation, recherche de racines, tableau de signes, etc.
- Interpréter le signe : On traduit les résultats du tableau de signes en termes de position relative ($C_f$ au-dessus, en dessous de $C_g$).
- Calculer les points d’intersection : On résout l’équation $d(x)=0$. Pour chaque solution $x_0$, on calcule l’ordonnée correspondante $y_0 = f(x_0)$ (ou $y_0 = g(x_0)$, le résultat est le même). Le point d’intersection est $(x_0, y_0)$.
Exemple d’Application
Étudier la position relative de la parabole $C_f$ d’équation $y=x^2$ et de la droite $D$ d’équation $y=x+2$.
- Fonction différence : Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = x+2$.
On pose $d(x) = f(x) – g(x) = x^2 – (x+2) = x^2 – x – 2$.
La fonction $d$ est définie sur $\mathbb{R}$. - Signe de $d(x)$ : $d(x)$ est un polynôme du second degré. On cherche ses racines.
Discriminant : $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Racines : $x_1 = \frac{1-3}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{1+3}{2} = 2$.
Le polynôme est du signe de $a=1$ (positif) à l’extérieur des racines. On dresse le tableau de signes :
$x$ $-\infty$ $-1$ $2$ $+\infty$ Signe de $d(x)$ + 0 – 0 + - Interprétation :
- Sur $]-\infty, -1[ \cup ]2, +\infty[$, $d(x) > 0$, donc $C_f$ est au-dessus de $D$.
- Sur $]-1, 2[$, $d(x) < 0$, donc $C_f$ est en dessous de $D$.
- Points d’intersection : Les courbes se coupent quand $d(x)=0$, soit pour $x=-1$ et $x=2$.
- Si $x=-1$, $y = f(-1) = (-1)^2 = 1$. Point $A(-1, 1)$.
- Si $x=2$, $y = f(2) = 2^2 = 4$. Point $B(2, 4)$.