Les suites arithmético-géométriques sont des suites définies par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = au_n + b$. Elles ne sont ni arithmétiques (à cause du facteur $a$) ni géométriques (à cause du terme $b$). Leur étude repose sur une méthode systématique visant à se ramener à une suite géométrique simple.
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0$ et $u_{n+1} = au_n + b$, avec $a \neq 1$ et $b \neq 0$.
- Chercher le point fixe : On résout l’équation $x = ax+b$. La solution, notée $\alpha$, est appelée le « point fixe » de la suite. On trouve $\alpha = \frac{b}{1-a}$.
- Définir la suite auxiliaire : On introduit une nouvelle suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n – \alpha$.
- Prouver que $(v_n)$ est géométrique : On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ : $$ v_{n+1} = u_{n+1} – \alpha = (au_n + b) – \alpha $$ Comme $\alpha = a\alpha + b \implies b = \alpha – a\alpha$, on remplace $b$ : $$ v_{n+1} = au_n + (\alpha – a\alpha) – \alpha = au_n – a\alpha = a(u_n – \alpha) = a v_n $$ La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $a$.
- Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ :
- On exprime $v_n$ en fonction de $n$ : $v_n = v_0 \cdot a^n$. On calcule $v_0 = u_0 – \alpha$.
- On en déduit l’expression de $u_n$ : $u_n = v_n + \alpha$, soit $\boldsymbol{u_n = (u_0 – \alpha)a^n + \alpha}$.
Exemple Détaillé
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$.
Déterminons l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ et sa limite.
Étape 1 (Point fixe) :
On résout $x = \frac{1}{2}x + 3$. $x – \frac{1}{2}x = 3 \implies \frac{1}{2}x = 3 \implies x=6$. Le point fixe est $\alpha = 6$.
Étape 2 (Suite auxiliaire) :
On pose $v_n = u_n – 6$.
Étape 3 (Nature de $(v_n)$) :
$v_{n+1} = u_{n+1} – 6 = (\frac{1}{2}u_n + 3) – 6 = \frac{1}{2}u_n – 3 = \frac{1}{2}(u_n – 6) = \frac{1}{2}v_n$.
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.
Étape 4 (Forme explicite) :
Le premier terme de $(v_n)$ est $v_0 = u_0 – 6 = 2 – 6 = -4$.
L’expression explicite de $v_n$ est $v_n = v_0 \cdot q^n = -4 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
On en déduit l’expression de $u_n$ :
$u_n = v_n + 6 \implies \boldsymbol{u_n = 6 – 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n}$.
Limite de la suite :
On cherche $\lim_{n \to \infty} u_n$. Comme la raison $q = \frac{1}{2}$ est comprise dans l’intervalle $]-1, 1[$, on a $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$. Par conséquent, $\lim_{n \to \infty} u_n = 6 – 4 \cdot 0 = 6$. La suite $(u_n)$ converge vers son point fixe $\alpha$.
L’expression générale $u_n = (u_0 – \alpha)a^n + \alpha$ permet de conclure sur le comportement de la suite :
- Si $\boldsymbol{|a| < 1}$, alors $\lim_{n \to \infty} a^n = 0$ et la suite converge vers le point fixe $\alpha$.
- Si $\boldsymbol{a > 1}$, alors $\lim_{n \to \infty} a^n = +\infty$. La suite diverge vers $\pm\infty$ (selon le signe de $u_0 – \alpha$).
- Si $\boldsymbol{a \le -1}$, la suite diverge et n’admet pas de limite (sauf si $u_0 = \alpha$).
- Si $\boldsymbol{a=1}$, la suite est arithmétique de raison $b$ (cas trivial non traité par cette méthode).