Exercices : Arithmétique – Chapitre 2

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Exercices : Arithmétique

Chapitre 2

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………

Exercice 1

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Montrer que le nombre $n(n+1)$ est pair.
Déterminer la parité des nombres suivants :
$a = 2n^2 + 13$
$b = n^3 – n$
$c = (2n+1)^7$
$d = n^2 + 3n + 1$

Exercice 2

Étudier la parité des nombres :
$2^9 + 6^9$
$17^3 – 5^3$
$351 \times 208$
$37013 \times 1375$

Exercice 3

Soit $n$ un entier naturel. Étudier la parité des nombres :
$12n+8$; $2n+5$; $4n+6$; $8n-7$ (avec $n \ge 1$); $6n+3$; $2n^2+8n+11$; $n^2+n+2006$; $n^3-n+2$.

Exercice 4

Déterminer les diviseurs des nombres : 18, 38, 75 et 60.
Déterminer cinq multiples de 3, 5, 7, 11, 15.

Exercice 5

Mettez une croix (X) dans la case qui convient.

Nombre	Divisible par 2	par 3	par 4	par 5	par 9
7524
2805
9360
5005005
91328
1010001

Exercice 6

Soient $n$ et $a$ deux entiers naturels non nuls. On pose $S = (a+1) + (a+2) + \dots + (a+n)$.

Montrer que $1+2+ \dots +n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Montrer que $n$ divise le nombre $S – \frac{n(n+1)}{2}$.
Montrer que si $n$ est impair, alors $S$ est divisible par $n$.

Exercice 7

Déterminer tous les nombres entiers naturels compris entre 202 et 299 qui sont divisibles par 3 et par 5.

Exercice 8

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \ge 2$. On pose $A = n^4 – 1$.

Montrer que $n-1$, $n+1$ et $n^2+1$ sont des diviseurs du nombre A.
Déterminer quatre autres diviseurs du nombre A.

Exercice 9

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels. On pose $A = (x+2y)^2 – x^2$.

Montrer que $A \in \mathbb{N}$.
Montrer que A est pair.
Montrer que A est divisible par 4.

Exercice 10

Déterminer les multiples du nombre 8 inférieurs à 76.
Même question pour le nombre 7.

Exercice 11

Donner les quotients de la division euclidienne de chacun des nombres : 544, 272, 136, 68, 34 par 2.
En déduire la valeur de l’entier naturel $n$ tel que : $544 = 2^n \times 17$.

Exercice 12

Déterminer les entiers naturels $a, b$ et $c$ pour que :

$23a4$ est divisible par 3.
$23a4$ est divisible par 3 et n’est pas divisible par 9.
$23b5c$ est divisible par 3 et 5.

Exercice 13

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que $n-3$ est multiple de 4. Montrer que le nombre $n^2+6n+5$ est multiple de 16.

Exercice 14

Soit $p$ un nombre premier tel que $p > 2$.

Montrer que $p^2-1$ est multiple de 8.
En déduire que 16 divise $p^4-1$.

Exercice 15

On considère les deux nombres $x=1500$ et $y=840$.

Décomposer les nombres $x$ et $y$ en produit de facteurs premiers.
Déterminer $pgcd(x,y)$ et $ppcm(x,y)$.
Simplifier les nombres $\sqrt{x}$ et $\frac{x}{y}$.

Exercice 16

Déterminer toutes les valeurs possibles de l’entier naturel $n$ tel que $\frac{n+13}{n+3}$ soit un nombre entier naturel.

Exercice 17

Soit $n$ un entier naturel.

Développer le nombre : $(n+1)^2 – n^2$.
En déduire que tout entier naturel impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs.
Appliquer le résultat obtenu pour les nombres 19, 47, 53.

Exercice 18

Montrer que pour $n \in \mathbb{N} : pgcd(n+1, n+2) = 1$.

Exercice 19

Trouver toutes les solutions de l’équation : $x^2 – y^2 = 51$ dans $\mathbb{N}^2$.
Déterminer les couples $(a,b)$ d’entiers naturels tels que :
$$ \begin{cases} a^2 – b^2 = 7344 \\ a \wedge b = 12 \end{cases} $$

Exercice 20

Soit $n$ un entier naturel. On pose $a = 5^{n+2} – 5^n$ et $b = 7^{n+2} – 7^n$. Déterminer $a \wedge b$ et $a \vee b$.

Exercice 21

Est-ce que le nombre 2017 est premier ?
Est-ce que le nombre 27000001 est premier ?

Solutions : Arithmétique – Chapitre 2

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Solutions : Arithmétique

Chapitre 2

Solution de l’exercice 1

Démonstration que $n(n+1)$ est pair (Disjonction des cas) :
- Cas 1 : $n$ est pair. Alors il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n=2k$. Par suite, $n(n+1) = 2k(2k+1) = 2 \times [k(2k+1)]$. C’est bien un multiple de 2, donc c’est un nombre pair.
- Cas 2 : $n$ est impair. Alors il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$. Dans ce cas, $n+1 = (2k+1)+1 = 2k+2 = 2(k+1)$. Ainsi, $n(n+1) = (2k+1) \times 2(k+1) = 2 \times [(2k+1)(k+1)]$. C’est aussi un nombre pair.
Conclusion : Dans tous les cas, le produit de deux entiers consécutifs $n(n+1)$ est un nombre pair.
Étude de la parité des nombres :
- a. $a = 2n^2 + 13$ : $2n^2$ est pair (multiple de 2) et 13 est impair. La somme est donc impaire.
- b. $b = n^3 – n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$. C’est le produit de trois entiers consécutifs. Ce produit contient nécessairement au moins un nombre pair. Par conséquent, le produit est pair.
- c. $c = (2n+1)^7$ : $2n+1$ est un nombre impair. Une puissance entière d’un nombre impair est toujours impaire.
- d. $d = n^2 + 3n + 1 = n^2+n+2n+1 = n(n+1) + 2n + 1$. D’après la question 1, $n(n+1)$ est pair. $2n$ est aussi pair. Donc $n(n+1)+2n$ est pair. En y ajoutant 1, le résultat final est impair.

Solution de l’exercice 2

$2^9 + 6^9$ : $2^9$ est une puissance de 2, donc pair. $6^9$ est une puissance de 6, donc pair. La somme de deux nombres pairs est paire.
$17^3 – 5^3$ : 17 est impair, donc $17^3$ est impair. 5 est impair, donc $5^3$ est impair. La différence de deux nombres impairs est paire.
$351 \times 208$ : 351 est impair et 208 est pair. Le produit d’un impair par un pair est pair.
$37013 \times 1375$ : 37013 est impair et 1375 est impair. Le produit de deux impairs est impair.

Solution de l’exercice 3

$12n+8 = 2(6n+4)$ : Pair.
$2n+5 = 2n+4+1 = 2(n+2)+1$ : Impair.
$4n+6 = 2(2n+3)$ : Pair.
$8n-7 = 8n-8+1 = 2(4n-4)+1$ : Impair.
$6n+3 = 3(2n+1)$ : C’est le produit de deux nombres impairs (3 et $2n+1$), le résultat est donc impair.
$2n^2+8n+11 = 2(n^2+4n)+11 = \text{Pair} + \text{Impair} = \textbf{Impair}$.
$n^2+n+2006 = n(n+1)+2006$. On sait que $n(n+1)$ est pair, et 2006 est pair. La somme est donc paire.
$n^3-n+2 = (n-1)n(n+1)+2$. Le produit de 3 entiers consécutifs est pair, et 2 est pair. La somme est donc paire.

Solution de l’exercice 4

Liste des diviseurs positifs :
- $D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
- $D_{38} = \{1, 2, 19, 38\}$.
- $D_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\}$.
- $D_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$.
Exemples de multiples :
- Cinq premiers multiples de 7 : $\{7, 14, 21, 28, 35\}$.
- Cinq premiers multiples de 11 : $\{11, 22, 33, 44, 55\}$.
- Cinq premiers multiples de 15 : $\{15, 30, 45, 60, 75\}$.

Solution de l’exercice 5

Nombre	par 2	par 3	par 4	par 5	par 9
7524	X	X	X
2805		X		X	X
9360	X	X	X	X	X
5005005		X		X
91328	X		X
1010001		X

Solution de l’exercice 6

Soit $A = 1+2+\dots+n$. On écrit la somme dans les deux sens :
$A = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n$
$A = n + (n-1) + \dots + 2 + 1$
En sommant les deux lignes terme à terme, on obtient :
$2A = (n+1) + (n+1) + \dots + (n+1)$, et ce $n$ fois.
Donc $2A = n(n+1)$, ce qui donne $A = \frac{n(n+1)}{2}$.
On a $S = (a+1) + (a+2) + \dots + (a+n)$.
On peut réarranger la somme : $S = (a+a+\dots+a) + (1+2+\dots+n)$.
Il y a $n$ termes « a », donc $S = na + \frac{n(n+1)}{2}$.
Par suite, $S – \frac{n(n+1)}{2} = na$. Comme $a \in \mathbb{N}$, $na$ est bien divisible par $n$.
Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair. Il existe donc $k \in \mathbb{N}$ tel que $n+1=2k$.
Alors, le terme $\frac{n(n+1)}{2}$ devient $\frac{n \cdot 2k}{2} = nk$.
En remplaçant dans l’expression de S : $S = na + nk = n(a+k)$.
Comme $a$ et $k$ sont des entiers, $a+k$ est un entier. Donc, $S$ est bien divisible par $n$.

Solution de l’exercice 7

On cherche les nombres $N$ tels que $202 \le N \le 299$ qui sont divisibles à la fois par 3 et par 5 (donc par 15).

Nombres finissant par 0 : 210 ($2+1=3$), 240 ($2+4=6$), 270 ($2+7=9$).
Nombres finissant par 5 : 225 ($2+2+5=9$), 255 ($2+5+5=12$), 285 ($2+8+5=15$).

Conclusion : L’ensemble des nombres recherchés est $\{210, 225, 240, 255, 270, 285\}$.

Solution de l’exercice 8

On factorise $A = n^4 – 1 = (n^2-1)(n^2+1) = (n-1)(n+1)(n^2+1)$. Puisque $A$ est le produit de $(n-1)$, $(n+1)$ et $(n^2+1)$, ces trois nombres sont bien des diviseurs de A.
Autres diviseurs de A : Tout produit de facteurs de la décomposition est aussi un diviseur. Par exemple : 1, A lui-même, $(n-1)(n+1) = n^2-1$, et $(n-1)(n^2+1)$.

Solution de l’exercice 9

On factorise $A = (x+2y)^2 – x^2 = ((x+2y)-x)((x+2y)+x) = (2y)(2x+2y) = 4y(x+y)$. Puisque $x$ et $y$ sont des entiers naturels, $A$ est aussi un entier naturel.
D’après la factorisation, $A = 4y(x+y) = 2 \times [2y(x+y)]$. Comme $A$ est un multiple de 2, $A$ est un nombre pair.
L’expression $A = 4 \times [y(x+y)]$ montre directement que $A$ est un multiple de 4. Donc, $A$ est divisible par 4.

Solution de l’exercice 10

On cherche $8k \le 76 \implies k \le 9.5$. L’ensemble des multiples est : $\{0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72\}$.
On cherche $7k \le 76 \implies k \le 10.85$. L’ensemble des multiples est : $\{0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70\}$.

Solution de l’exercice 11

Divisions successives : $544 \div 2 = 272$; $272 \div 2 = 136$; $136 \div 2 = 68$; $68 \div 2 = 34$; $34 \div 2 = 17$.
En remontant les calculs, on obtient : $544 = 2 \times 272 = 2^2 \times 136 = 2^3 \times 68 = 2^4 \times 34 = 2^5 \times 17$. Donc $n=5$.

Solution de l’exercice 12

$23a4$ est divisible par 3 si $2+3+a+4 = 9+a$ est un multiple de 3. Donc $a \in \{0, 3, 6, 9\}$.
La somme $9+a$ est un multiple de 3 mais pas de 9.
- Si $a=0$, $9+a=9$ (divisible par 9, rejeté).
- Si $a=3$, $9+a=12$ (non divisible par 9, accepté).
- Si $a=6$, $9+a=15$ (non divisible par 9, accepté).
- Si $a=9$, $9+a=18$ (divisible par 9, rejeté).
Les valeurs possibles pour $a$ sont donc $\{3, 6\}$.
$23b5c$ est divisible par 5, donc $c \in \{0, 5\}$. Il est divisible par 3, donc $10+b+c$ est un multiple de 3.
- Cas 1 : $c=0$. La somme est $10+b$. Pour qu’elle soit divisible par 3, $b$ peut être $\{2, 5, 8\}$.
- Cas 2 : $c=5$. La somme est $15+b$. Pour qu’elle soit divisible par 3, $b$ doit être un multiple de 3, donc $b \in \{0, 3, 6, 9\}$.
Les couples $(b,c)$ possibles sont : $\{(2,0), (5,0), (8,0), (0,5), (3,5), (6,5), (9,5)\}$.

Solution de l’exercice 13

On a $n-3=4k \implies n=4k+3$. On remplace $n$ dans $n^2+6n+5$ :
$(4k+3)^2 + 6(4k+3) + 5 = (16k^2 + 24k + 9) + (24k + 18) + 5 = 16k^2 + 48k + 32 = 16(k^2 + 3k + 2)$.
Le résultat est bien un multiple de 16.

Solution de l’exercice 14

Soit $p$ un nombre premier $> 2$, donc $p$ est impair.

Comme $p$ est impair, $p=2k+1$. Alors $p^2 – 1 = (2k+1)^2 – 1 = 4k^2+4k = 4k(k+1)$. Le terme $k(k+1)$ est pair, donc $k(k+1) = 2m$. Ainsi, $p^2-1 = 4(2m) = 8m$. C’est bien un multiple de 8.
On factorise $p^4 – 1 = (p^2-1)(p^2+1)$. $p^2-1$ est un multiple de 8. Comme $p$ est impair, $p^2$ est impair, donc $p^2+1$ est pair. Donc, $p^4-1 = (\text{multiple de 8}) \times (\text{multiple de 2}) = 16(mq)$.

Solution de l’exercice 15

Décomposition :
$x = 1500 = 15 \times 100 = (3 \times 5) \times 10^2 = 2^2 \times 3^1 \times 5^3$.
$y = 840 = 84 \times 10 = (4 \times 21) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1$.
PGCD et PPCM :
$pgcd(x, y) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60$.
$ppcm(x, y) = 2^3 \times 3^1 \times 5^3 \times 7^1 = 21000$.
Simplification :
$\sqrt{x} = \sqrt{1500} = \sqrt{100 \times 15} = 10\sqrt{15}$.
$\frac{x}{y} = \frac{1500}{840} = \frac{150}{84} = \frac{25}{14}$.

Solution de l’exercice 16

On a $\frac{n+13}{n+3} = \frac{(n+3)+10}{n+3} = 1 + \frac{10}{n+3}$. Pour que cette expression soit un entier, il faut que $n+3$ soit un diviseur de 10. Les diviseurs de 10 sont $\{1, 2, 5, 10\}$.
$n+3=1 \implies n=-2$ (pas dans $\mathbb{N}$).
$n+3=2 \implies n=-1$ (pas dans $\mathbb{N}$).
$n+3=5 \implies n=2$.
$n+3=10 \implies n=7$.
Les valeurs possibles sont $\{2, 7\}$.

Solution de l’exercice 17

$(n+1)^2 – n^2 = (n^2+2n+1) – n^2 = 2n+1$.
Tout entier impair $x$ peut s’écrire $x=2n+1$. D’après la question précédente, $x = (n+1)^2 – n^2$.
Application :
$19 = 2 \times 9 + 1 \implies 19 = 10^2 – 9^2$.
$47 = 2 \times 23 + 1 \implies 47 = 24^2 – 23^2$.
$53 = 2 \times 26 + 1 \implies 53 = 27^2 – 26^2$.

Solution de l’exercice 18

Soit $d = pgcd(n+1, n+2)$. Alors $d$ divise $n+1$ et $d$ divise $n+2$. Par conséquent, $d$ doit diviser leur différence : $(n+2) – (n+1) = 1$. Le seul diviseur positif de 1 est 1 lui-même. Donc, $d=1$.

Solution de l’exercice 19

$x^2 – y^2 = 51 \Leftrightarrow (x-y)(x+y) = 51$. Les diviseurs de 51 sont $\{1, 3, 17, 51\}$.
- $\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 51 \end{cases} \implies 2x=52 \implies x=26, y=25$.
- $\begin{cases} x-y = 3 \\ x+y = 17 \end{cases} \implies 2x=20 \implies x=10, y=7$.
Les couples solutions sont $(26, 25)$ et $(10, 7)$.
On a $a \wedge b = 12$, donc $a=12x$ et $b=12y$ avec $x \wedge y = 1$.
$a^2 – b^2 = 7344 \implies (12x)^2 – (12y)^2 = 7344 \implies 144(x^2 – y^2) = 7344 \implies x^2 – y^2 = 51$.
D’après la question 1, les couples $(x,y)$ sont $(26,25)$ et $(10,7)$. Les deux sont premiers entre eux.
Les couples $(a,b)$ sont $(12 \times 26, 12 \times 25) = (312, 300)$ et $(12 \times 10, 12 \times 7) = (120, 84)$.

Solution de l’exercice 20

$a = 5^n(5^2 – 1) = 5^n \times 24 = 2^3 \times 3 \times 5^n$.
$b = 7^n(7^2 – 1) = 7^n \times 48 = 2^4 \times 3 \times 7^n$.

$a \wedge b = 2^{\min(3,4)} \times 3^{\min(1,1)} = 2^3 \times 3^1 = 24$.
$a \vee b = 2^{\max(3,4)} \times 3^{\max(1,1)} \times 5^n \times 7^n = 2^4 \times 3 \times 5^n \times 7^n = 48 \times (35)^n$.

Solution de l’exercice 21

2017 est-il premier ? On calcule $\sqrt{2017} \approx 44.91$. On teste la divisibilité par les nombres premiers jusqu’à 43. Aucun ne divise 2017. Donc, 2017 est un nombre premier.
27000001 est-il premier ? On a $27000001 = 27 \times 10^6 + 1 = (3 \times 10^2)^3 + 1^3 = 300^3 + 1^3$.
On utilise $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ :
$300^3 + 1^3 = (300+1)(300^2 – 300 + 1) = 301 \times 89701$.
Comme le nombre est le produit de deux entiers différents de 1, il n’est pas premier.