Exercices corrigés : Calcul vectoriel dans le plan – Tronc commun Science

Exercices : Calcul vectoriel dans le plan – Chapitre 3

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Exercices : Calcul vectoriel dans le plan

Chapitre 3

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

À partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que :
\(\vec{DE} = \vec{BC}\) ; \(\vec{CF} = \vec{DC}\) ; \(\vec{BG} = \vec{AB}\)

Exercice 2

ABCD et AFBD sont deux parallélogrammes.

  1. Réaliser une figure.
  2. Démontrer que B est le milieu du segment [CF].
Exercice 3
  1. Soit deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Représenter les vecteurs suivants : \(2\vec{u}\), \(-\vec{v}\) et \(2\vec{u}-\vec{v}\).
  2. Soit trois points A, B et C.
    1. Représenter le vecteur \(\vec{AC} + 2\vec{BC}\).
    2. Représenter le vecteur \(\vec{BC} – 3\vec{AC}\).
Exercice 4
  1. Soit deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et un point O. Construire A tel que \(\vec{OA} = 3\vec{u} – \vec{v}\).
  2. Soit trois points A, B, C du plan. Construire M tel que \(\vec{AM} = -\vec{AB} + 3\vec{AC}\).
Exercice 5

On donne deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) tel que : \(-4\vec{u} + 3\vec{v} = \vec{0}\). Démontrer que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Exercice 6

ABCD est un parallélogramme du plan.

  1. Construire les points E et F tel que : \(\vec{AE} = \frac{3}{2}\vec{AB}\) et \(\vec{DF} = -2\vec{DA}\).
  2. Montrer que \(\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{AB} – \vec{AD}\) et \(\vec{FE} = \frac{3}{2}\vec{AB} – 3\vec{AD}\).
  3. En déduire que E, F et C sont alignés.
Exercice 7

ABC est un triangle du plan (P).

  1. Construire les points E et F tel que : \(\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{AB}\) et \(\vec{AF} = \frac{4}{3}\vec{AC}\).
  2. Montrer que : \(\vec{EC} = -\frac{3}{4}\vec{AB} + \vec{AC}\) et \(\vec{BF} = -\vec{AB} + \frac{4}{3}\vec{AC}\).
  3. En déduire que les droites (EC) et (BF) sont parallèles.
Exercice 8

Soient ABCD un parallélogramme, et M, E et F des points du plan tels que :
\(\vec{CM} = \frac{1}{4}\vec{CA}\), \(\vec{CE} = \frac{1}{3}\vec{CD}\) et \(\vec{CF} = \frac{2}{3}\vec{CD}\).

  1. Construire les points M, E et F.
  2. Montrer que \(\vec{BM} = \frac{1}{4}\vec{CD} – \frac{3}{4}\vec{CB}\) et \(\vec{BE} = \frac{1}{3}\vec{CD} – \vec{CB}\).
  3. En déduire que les points M, E et B sont alignés.
  4. Montrer que E est le milieu de [CF].
Exercice 9

ABC un triangle et I le milieu de [BC].

    1. Construire les points M et N tel que \(\vec{AM} = \frac{3}{2}\vec{AB}\) et \(\vec{AN} = \frac{3}{2}\vec{AC}\).
    2. Montrer que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
  2. Soit J le milieu du segment [MN].
    1. Montrer que \(\vec{AM} + \vec{AN} = 3\vec{AI}\).
    2. En déduire que A, I et J sont alignés.
Exercice 10

ABCD est un parallélogramme de centre O.

  1. Construire les points M et N tel que : \(\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB}\) et \(\vec{ON} = \vec{OC} + \vec{OD}\).
  2. Montrer que O est le milieu de [MN].
  3. Montrer que les droites (AD) et (MN) sont parallèles.
Solutions : Calcul vectoriel dans le plan – Chapitre 3

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Solutions : Calcul vectoriel dans le plan

Chapitre 3

Solution de l’exercice 1

La construction des points est basée sur les égalités vectorielles. Par exemple, pour construire E, on trace un vecteur partant de D qui est égal au vecteur \(\vec{BC}\). Cela signifie que BCED est un parallélogramme.

A B C D E \(\vec{DE} = \vec{BC}\) F \(\vec{CF} = \vec{DC}\) G \(\vec{BG} = \vec{AB}\)
Solution de l’exercice 2

Pour démontrer que B est le milieu du segment [CF], il faut montrer que \(\vec{CB} = \vec{BF}\).

  • Comme ABCD est un parallélogramme, on a la relation vectorielle \(\vec{CB} = \vec{DA}\).
  • Comme AFBD est un parallélogramme, on a la relation vectorielle \(\vec{AD} = \vec{FB}\).

En utilisant ces deux égalités, on peut écrire :

$$ \vec{CB} = \vec{DA} = – \vec{AD} = – \vec{FB} = \vec{BF} $$

Puisque \(\vec{CB} = \vec{BF}\), le point B est bien le milieu du segment [CF].

A B C D F
Solution de l’exercice 6
  1. La construction des points E et F se fait en respectant les relations vectorielles données.
  2. Démonstration des égalités vectorielles :
    • Montrons que \(\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{AB} – \vec{AD}\) :
      \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = \vec{DA} + (\vec{BA} + \vec{AE}) = -\vec{AD} – \vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} – \vec{AD}\)
    • Montrons que \(\vec{FE} = \frac{3}{2}\vec{AB} – 3\vec{AD}\) :
      \(\vec{FE} = \vec{FA} + \vec{AE}\). On a \(\vec{DF} = -2\vec{DA} = 2\vec{AD}\), donc \(\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF} = \vec{AD} + 2\vec{AD} = 3\vec{AD}\).
      \(\vec{FE} = -\vec{AF} + \vec{AE} = -3\vec{AD} + \frac{3}{2}\vec{AB}\)
  3. Démonstration de l’alignement :
    On a \(\vec{FE} = \frac{3}{2}\vec{AB} – 3\vec{AD}\). On peut factoriser par 3 :
    $$ \vec{FE} = 3 \left( \frac{1}{2}\vec{AB} – \vec{AD} \right) $$ On reconnaît l’expression de \(\vec{CE}\). Donc, \(\vec{FE} = 3\vec{CE}\).
    Puisque le vecteur \(\vec{FE}\) est un multiple du vecteur \(\vec{CE}\), les points E, F et C sont alignés.
A B C D E F
Solution de l’exercice 7
  1. Construction des points E et F.
  2. Démonstration des égalités vectorielles :
    • \(\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AC} = -\vec{AE} + \vec{AC} = -\frac{3}{4}\vec{AB} + \vec{AC}\)
    • \(\vec{BF} = \vec{BA} + \vec{AF} = -\vec{AB} + \frac{4}{3}\vec{AC}\)
  3. Démonstration du parallélisme :
    On peut essayer d’exprimer un vecteur en fonction de l’autre. Factorisons \(\frac{4}{3}\) dans l’expression de \(\vec{BF}\) :
    $$ \vec{BF} = \frac{4}{3} \left( -\frac{3}{4}\vec{AB} + \vec{AC} \right) $$ On reconnaît l’expression de \(\vec{EC}\). Donc, \(\vec{BF} = \frac{4}{3}\vec{EC}\).
    Puisque les vecteurs sont colinéaires, les droites (EC) et (BF) sont parallèles.
A B C E F