Un nombre est décimal si sa partie décimale est finie. Pour une fraction irréductible \( \frac{p}{q} \), cela revient à dire que les seuls facteurs premiers de son dénominateur \(q\) sont 2 et 5.

1. On a \( \frac{54}{40} = \frac{27}{20} \). Le dénominateur est \( 20 = 2^2 \times 5 \). Donc, le nombre est décimal. En effet, \( \frac{54}{40} = 1.35 \).
2. On a \( \frac{126}{450} = \frac{7}{25} \). Le dénominateur est \( 25 = 5^2 \). Donc, le nombre est décimal. En effet, \( \frac{126}{450} = 0.28 \).
3. On a \( \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \). Le dénominateur est \( 6 = 2 \times 3 \). La présence du facteur 3 montre que le nombre n’est pas décimal. Par suite, la division \(0.8333…\) est infinie.
4. La fraction \( \frac{17}{7} \) est irréductible et son dénominateur est 7. Alors, le nombre n’est pas décimal.
5. La fraction \( \frac{1}{3} \) est irréductible et son dénominateur est 3. Par conséquent, le nombre n’est pas décimal.

• • \(6 \in \mathbb{Z}\) : Vrai, car 6 est un entier.
• • \(\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}\) : Vrai, car c’est un quotient de deux entiers.
• • \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) : Vrai, \(\sqrt{2}\) est un irrationnel.
• • \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) : Vrai, l’ensemble des réels contient tous les nombres.
• • \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) : Vrai, tout nombre rationnel est un réel.
• • \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}\) : Vrai, tout entier naturel \(n\) peut s’écrire \(n/1\).
• • \(-\frac{2}{3} \notin \mathbb{R}^{+}\) : Vrai, car \(-\frac{2}{3}\) est un nombre négatif.
• • \(\frac{6}{2} = 3 \in \mathbb{N}\) : Vrai, car le quotient est un entier naturel.
• • \(\pi \notin \mathbb{Z}\) : Vrai, \(\pi\) n’est pas un entier.

1. Le dénominateur commun est 12. Alors :
   \(A = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{5 \times 4}{3 \times 4} – \frac{7 \times 2}{6 \times 2} = \frac{9}{12} + \frac{20}{12} – \frac{14}{12} = \frac{9+20-14}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}\)
2. Le dénominateur commun est 12. Donc :
   \(B = \frac{-2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{7 \times 2}{6 \times 2} – \frac{1 \times 3}{4 \times 3} – 2 = \frac{-8}{12} + \frac{14}{12} – \frac{3}{12} – \frac{24}{12} = \frac{-8+14-3-24}{12} = \frac{-21}{12} = -\frac{7}{4}\)
3. On calcule d’abord l’intérieur de la parenthèse. Ainsi :
   \(C = \left(\frac{2 \times 2}{3 \times 2} – \frac{5 \times 3}{2 \times 3}\right)^2 = \left(\frac{4-15}{6}\right)^2 = \left(\frac{-11}{6}\right)^2 = \frac{(-11)^2}{6^2} = \frac{121}{36}\)
4. On calcule le numérateur et le dénominateur de la grande fraction. Par suite :
   \(D = \frac{5 + \frac{1}{3}}{2 – \frac{3}{2}} = \frac{\frac{15+1}{3}}{\frac{4-3}{2}} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{16}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{32}{3}\)

1. \(A = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\). Ensuite, on rend le dénominateur rationnel : \(A = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).
2. \(B = \sqrt{\frac{28}{14}} = \sqrt{2}\).
3. On décompose chaque nombre sous la racine :
   \(C = 3\sqrt{4 \cdot 5} + 4\sqrt{9 \cdot 5} – 2\sqrt{16 \cdot 5} – \sqrt{36 \cdot 5}\)
   Alors, \(C = 3 \cdot 2\sqrt{5} + 4 \cdot 3\sqrt{5} – 2 \cdot 4\sqrt{5} – 6\sqrt{5} = 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} – 8\sqrt{5} – 6\sqrt{5}\).
   Finalement, \(C = (6+12-8-6)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\).
4. On reconnaît l’identité \((x-y)(x+y)\) avec \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) et \(y=\sqrt{5}\).
   \(D = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})-\sqrt{5})((\sqrt{3}+\sqrt{2})+\sqrt{5}) = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 – (\sqrt{5})^2\).
   Donc, \(D = (3+2\sqrt{6}+2) – 5 = 5+2\sqrt{6}-5 = 2\sqrt{6}\).

Pour simplifier \(E\), on met les deux fractions au même dénominateur en utilisant le produit des dénominateurs. Le dénominateur commun est donc \((\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})\).

$$ E = \frac{5\sqrt{7}(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})} + \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})} $$

$$ E = \frac{5\sqrt{7}(\sqrt{2}+\sqrt{7}) + 5\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{(\sqrt{2})^2 – (\sqrt{7})^2} $$

$$ E = \frac{(5\sqrt{14} + 5 \cdot 7) + (5 \cdot 2 – 5\sqrt{14})}{2 – 7} $$

$$ E = \frac{5\sqrt{14} + 35 + 10 – 5\sqrt{14}}{-5} = \frac{45}{-5} = -9 $$

On en déduit que \(E = -9\). Ce résultat est bien un nombre entier relatif, car \(-9 \in \mathbb{Z}\).

On regroupe les termes astucieusement :

$$ A = \sqrt{ ( 2-\sqrt{2+\sqrt{2}} ) ( 2+\sqrt{2+\sqrt{2}} ) } \times \sqrt{2+\sqrt{2}} \times \sqrt{2} $$

$$ A = \sqrt{ 2^2 – (\sqrt{2+\sqrt{2}})^2 } \times \sqrt{2+\sqrt{2}} \times \sqrt{2} $$

$$ A = \sqrt{4 – (2+\sqrt{2})} \times \sqrt{2+\sqrt{2}} \times \sqrt{2} $$

$$ A = \sqrt{2-\sqrt{2}} \times \sqrt{2+\sqrt{2}} \times \sqrt{2} $$

On regroupe à nouveau les deux premiers termes :

$$ A = \sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} \times \sqrt{2} $$

$$ A = \sqrt{2^2 – (\sqrt{2})^2} \times \sqrt{2} = \sqrt{4-2} \times \sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} $$

Finalement, on obtient : \( A = 2 \)

L’expression conjuguée de \(\sqrt{2}-1\) est \(\sqrt{2}+1\). Alors, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette valeur :

$$ A = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} $$

Par suite, en utilisant l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) au dénominateur :

$$ A = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1 $$

1. On applique les règles des puissances :
   \(A = 2^3 \times (2^2)^4 \times (2^{-5})^3 = 2^3 \times 2^{8} \times 2^{-15}\).
   Donc, \(A = 2^{3+8-15} = 2^{-4} = \frac{1}{16}\).
2. On décompose les termes négatifs :
   \(B = (-3)^1 \times (-3)^5 \times 3^2 \times (-3)^{-10}\).
   Ainsi, \(B = (-3^1) \times (-3^5) \times 3^2 \times (3^{-10}) = (-1) \cdot 3^1 \cdot (-1) \cdot 3^5 \cdot 3^2 \cdot 3^{-10}\).
   Par conséquent, \(B = (-1) \times (-1) \times 3^{1+5+2-10} = 1 \times 3^{-2} = \frac{1}{9}\).

A. \(A = (5+2\sqrt{10}+2) – (5-2\sqrt{10}+2) = (7+2\sqrt{10}) – (7-2\sqrt{10}) = 4\sqrt{10}\)

B. \(B = ((\sqrt{2})^2 – (\sqrt{3})^2)^2 = (2-3)^2 = (-1)^2 = 1\)

C. \(C = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 + 1^3 = 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1 = 7 + 5\sqrt{2}\)

A. \(49x^2 – 81 = (7x)^2 – 9^2 = (7x-9)(7x+9)\)

B. \(16x^2 – 8x + 1 = (4x)^2 – 2(4x)(1) + 1^2 = (4x-1)^2\)

C. \(x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)\)

A. \(A = (9 + 6\sqrt{11} + 11) – (9 – 6\sqrt{11} + 11) = (20+6\sqrt{11}) – (20-6\sqrt{11}) = 12\sqrt{11}\)

B. \(B = ((4\sqrt{3})^2 – 7^2)^{2015} = (48-49)^{2015} = (-1)^{2015} = -1\)

C. \(C = (5\sqrt{3})^2 – (7\sqrt{2})^2 = 75 – 98 = -23\)

1. Pour \(10-4\sqrt{6}\) : On a \(10-4\sqrt{6} = 10-2\sqrt{24}\). On cherche \(a,b\) tels que \(a+b=10\) et \(ab=24\). Les nombres \(a=6\) et \(b=4\) conviennent. Donc, \(10-4\sqrt{6} = (\sqrt{6}-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{6}-2)^2\).

2. Pour \(4+2\sqrt{3}\) : On cherche \(a,b\) tels que \(a+b=4\) et \(ab=3\). Les nombres \(a=3\) et \(b=1\) conviennent. Par suite, \(4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{3}+1)^2\).

Les deux expressions sont positives. Montrons que leurs carrés sont égaux.

• Carré du premier membre : \( (\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}})^2 = a+\sqrt{a^2-b^2} \)
• Carré du second membre :
  \( (\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}))^2 = \frac{2}{4}(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b})^2 \)
  \( = \frac{1}{2}( (a-b) + 2\sqrt{(a-b)(a+b)} + (a+b) ) \)
  \( = \frac{1}{2}( 2a + 2\sqrt{a^2-b^2} ) = a + \sqrt{a^2-b^2} \)

Conclusion : Les carrés des deux expressions sont égaux. Comme les expressions initiales sont positives, elles sont donc égales.

A. \(16x^2 – 8x + 1 = (4x-1)^2\)

B. \(16 – 25x^2 = (4-5x)(4+5x)\)

C. \(1-(1-3x)^2 = [1-(1-3x)][1+(1-3x)] = (3x)(2-3x)\)

D. \((2x-1)^3 – 8 = ((2x-1)-2)((2x-1)^2 + 2(2x-1) + 4) = (2x-3)(4x^2+3)\)

E. \(27+x^3 = (3+x)(9-3x+x^2)\)

F. \(x^{12} – 2x^6 + 1 = (x^6-1)^2 = [(x^3-1)(x^3+1)]^2 = (x^3-1)^2(x^3+1)^2\)