Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
a) $f(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$
b) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2-4x+3}$
c) $f(x) = \frac{5x+4}{x^2+3x+2}$
a) $D_f = ]-\infty, 1] \cup [3, +\infty[$ (le trinôme doit être positif).
b) $D_f = [0, 1[ \cup ]3, +\infty[$ (le numérateur impose $x \ge 0$ et le dénominateur doit être non nul).
c) $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1\}$ (le dénominateur doit être non nul).
Calculer les limites suivantes, lorsqu’elles existent :
a) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$
b) $\lim_{x\to +\infty} (e^x – \sin x)$
c) $\lim_{x\to 0} (x+1)^{1/x}$
a) En multipliant par le conjugué, on obtient $\lim_{x\to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \frac{2}{2} = 1$.
b) On factorise par le terme dominant : $e^x(1 – \frac{\sin x}{e^x})$. Comme $\sin x$ est bornée, $\frac{\sin x}{e^x} \to 0$. La limite est donc $+\infty$.
c) On passe à la forme exponentielle : $\lim_{x\to 0} \exp\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)$. La limite de l’exposant est 1, donc par continuité de l’exponentielle, la limite est $e^1=e$.
Soit $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $]-1, 1[$ et déterminer son inverse.
On étudie la fonction. Elle est continue, strictement croissante, et ses limites en $\pm\infty$ sont $\pm 1$. Par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, 1[$. Pour trouver l’inverse, on résout $y = \frac{x}{1+|x|}$. Si $x \ge 0$, $y=\frac{x}{1+x} \implies x=\frac{y}{1-y}$. Si $x < 0$, $y=\frac{x}{1-x} \implies x=\frac{y}{1+y}$. On peut regrouper ces deux cas en une seule formule : $f^{-1}(y) = \frac{y}{1-|y|}$.
1. Soit $f:[0,1] \to [0,1]$ continue. Montrer que $f$ admet un point fixe.
2. Soit $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continue. Montrer que si $f([a,b]) \supset [a,b]$, alors $f$ admet un point fixe.
1. C’est une application directe du théorème du point fixe vu en cours (on étudie le signe de la fonction $g(x)=f(x)-x$).
2. L’hypothèse $f([a,b]) \supset [a,b]$ signifie qu’il existe $c, d \in [a,b]$ tels que $f(c)=a$ et $f(d)=b$. On considère à nouveau la fonction $g(x)=f(x)-x$. On a $g(c)=a-c \le 0$ et $g(d)=b-d \ge 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g$, il existe un point $\alpha$ entre $c$ et $d$ tel que $g(\alpha)=0$, c’est-à-dire $f(\alpha)=\alpha$.
Soit $f(x) = \cos(1/x)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f$ n’est pas continue en 0. Soit $g(x)=xf(x)$, montrer que $g$ est continue en 0.
1. La fonction $\cos(1/x)$ n’a pas de limite en 0 (elle oscille indéfiniment). La limite n’est donc pas égale à $f(0)$, et la fonction est discontinue.
2. Pour $g(x)=x\cos(1/x)$, on a $|g(x)| \le |x|$. Par le théorème d’encadrement, $\lim_{x \to 0} g(x) = 0 = g(0)$. La fonction $g$ est donc continue en 0.
Soit $f:[0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ continue, telle que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = l < 1$. Montrer qu'il existe $\alpha \in [0, +\infty[$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.
On considère la fonction $g(x)=f(x)-x$. On a $g(0)=f(0) \ge 0$. La condition sur la limite implique qu’il existe un réel $B$ tel que pour $x>B$, $\frac{f(x)}{x} < \frac{l+1}{2} < 1$. Donc $f(x) < x$, ce qui signifie $g(x) < 0$. On peut donc trouver un $x_0 > B$ tel que $g(x_0)<0$. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à $g$ sur l'intervalle $[0, x_0]$, on conclut à l'existence d'un $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.
1. Montrer que l’équation $x^7+3x^4-x-1=0$ admet au moins une solution dans $]0,1[$.
2. Montrer que l’équation $\ln(x^3+x^2+x-3)=0$ admet une solution unique dans $]1,2[$.
1. Soit $f(x)=x^7+3x^4-x-1$. $f$ est continue. $f(0)=-1$ et $f(1)=2$. Par le TVI, il existe une racine dans $]0,1[$.
2. L’équation est équivalente à $x^3+x^2+x-3=1$, soit $g(x)=x^3+x^2+x-4=0$. On a $g(1)=-1$ et $g(2)=10$. Le TVI garantit l’existence d’une racine. De plus, $g'(x)=3x^2+2x+1 > 0$ sur $]1,2[$, donc $g$ est strictement croissante, ce qui assure l’unicité de la racine.
Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction $k$-lipschitzienne avec $k \in ]0,1[$ (contractante). Soit la suite $x_{n+1}=f(x_n)$. Montrer que la suite $(x_n)$ converge vers l’unique point fixe de $f$.
1. Une fonction lipschitzienne est continue. Comme elle est contractante, on peut montrer qu’elle admet un unique point fixe $l$ (théorème du point fixe de Banach).
2. a) On a $|x_{n+1}-l| = |f(x_n)-f(l)| \le k|x_n-l|$. Par une récurrence immédiate, $|x_n-l| \le k^n |x_0-l|$. Comme $k \in ]0,1[$, $k^n \to 0$. Par encadrement, $|x_n-l| \to 0$, donc la suite converge vers $l$.