Exercices corrigés : Généralités sur les fonctions – Tronc commun Science

Exercices : Généralités sur les fonctions – Chapitre 11

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Exercices : Généralités sur les fonctions

Chapitre 11

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

Soit f la fonction numérique définie sur R par : \(f(x)=\frac{-10x}{1+x^{2}}\)

  1. Montrer que la fonction f est impaire.
  2. Montrer que 5 est une valeur maximale de f sur R.
    1. Soient a et b deux réels distincts, montrer que : \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{10(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\)
    2. En déduire la monotonie de la fonction f sur \([0,1]\) et \([1,+\infty[\).
  4. Donner le tableau de variation de f sur R.
Exercice 2

Soit f la fonction numérique définie par: \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
  2. Etudier la monotonie de f sur les intervalles \(]-\infty,1[\) et \(]1,+\infty[\).
  3. Dresser le tableau de variation de f.
  4. Comparer les deux nombres : \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\) et \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\).
Exercice 3

Soient f et g deux fonctions définies par : \(f(x)=x^{2}-2x\) et \(g(x)=\frac{x}{x-2}\)

  1. Déterminer \(D_{g}\) et vérifier que pour tout x de \(D_{g}:g(x)=1+\frac{2}{x-2}\).
  2. Donner les tableaux de variations de f et g.
  3. Déterminer les points d’intersection de \((C_{f})\) et \((C_{g})\) avec les axes du repère.
  4. Tracer les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\) dans le même repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
  5. Déterminer algébriquement les points d’intersection de \((C_{f})\) et \((C_{g})\).
  6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\le g(x)\).
  7. Soit h la fonction définie par : \(h(x)=\frac{|x|}{|x|-2}\)
    1. Déterminer \(D_{h}\).
    2. Montrer que la fonction h est paire.
    3. Vérifier que \(h(x)=g(x)\) pour tout x de \(\mathbb{R}^{+}-\{2\}\).
    4. Tracer la courbe \((C_{h})\) dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
  8. Soit k la fonction définie par: \(k(x)=|f(x)|\)
    1. Tracer la courbe \((C_{k})\) dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
    2. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation \(k(x)=m\).
Exercice 4

Soient f et g deux fonctions définies par: \(f(x)=x^{2}-2x+1\) et \(g(x)=\frac{3x-3}{x+1}\)

  1. Déterminer \(D_{g}\) et vérifier que pour tout x de \(D_{g}:g(x)=3-\frac{6}{x+1}\).
  2. Donner les tableaux de variations de f et g.
  3. Déterminer les points d’intersection de \((C_{f})\) et \((C_{g})\) avec les axes du repère.
  4. Tracer les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\) dans le même repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
  5. Déterminer algébriquement les points d’intersection de \((C_{f})\) et \((C_{g})\).
  6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\ge g(x)\).
  7. Soit h la fonction définie par: \(h(x)=\frac{3|x|-3}{|x|+1}\)
    1. Déterminer \(D_{h}\).
    2. Montrer que la fonction h est paire.
    3. Vérifier que \(h(x)=g(x)\) pour tout x de \(\mathbb{R}^{+}\).
    4. Tracer la courbe \((C_{h})\) dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
  8. Soit k la fonction définie par: \(k(x)=|f(x)|\)
    1. Tracer la courbe \((C_{k})\) dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
    2. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation \(k(x)=m\).
Solutions : Généralités sur les fonctions – Chapitre 11

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Solutions : Généralités sur les fonctions

Chapitre 11

Solution de l’exercice 1
  1. Soit \(x\in\mathbb{R}\). On a \(-x\in\mathbb{R}\) et \(f(-x)=\frac{-10(-x)}{1+(-x)^{2}}=\frac{10x}{1+x^{2}}=-f(x)\). Donc f est une fonction impaire.
  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). On a \(f(x)-5=\frac{-10x-5(1+x^2)}{1+x^{2}}=\frac{-5(x^{2}+2x+1)}{1+x^{2}}=\frac{-5(x+1)^{2}}{1+x^{2}} \le 0\). Donc \(f(x)\le5\). De plus, \(f(-1)=5\). On conclut que 5 est la valeur maximale de f sur R.
    1. \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{\frac{-10a}{1+a^{2}}-\frac{-10b}{1+b^{2}}}{a-b} = \frac{-10a(1+b^2)+10b(1+a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)(a-b)} = \frac{10(b-a+ab(a-b))}{(1+a^2)(1+b^2)(a-b)} = \frac{10(a-b)(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(a-b)} = \frac{10(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\).
    2. Sur \([0,1]\), si \(0\le a, b\le1\) et \(a\ne b\), alors \(ab-1<0\). Le taux d'accroissement est négatif, donc f est strictement décroissante. Sur \([1,+\infty[\), si \(a, b\ge1\) et \(a\ne b\), alors \(ab-1>0\). Le taux d’accroissement est positif, donc f est strictement croissante.
  4. f est impaire. Sur \([0,1]\) elle est décroissante, sur \([1,+\infty[\) elle est croissante. Par symétrie, sur \([-1,0]\) elle est décroissante, et sur \(]-\infty,-1]\) elle est croissante.
Solution de l’exercice 2
  1. \(D_{f}=\{x\in\mathbb{R}/x-1\ne0\}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
  2. Le taux d’accroissement est \(\frac{-1}{(a-1)(b-1)}\). Sur \(]-\infty,1[\), \(a-1<0\) et \(b-1<0\), donc \((a-1)(b-1)>0\). Le taux est négatif, f est décroissante. Sur \(]1,+\infty[\), \(a-1>0\) et \(b-1>0\), donc \((a-1)(b-1)>0\). Le taux est négatif, f est décroissante.
  3. Tableau de variation :
    \(x\)\(-\infty\)1\(+\infty\)
    \(f(x)\)↘↘
  4. On a \(1 < \sqrt{2} < \sqrt{3}\). Puisque f est strictement décroissante sur \(]1,+\infty[\), alors \(f(\sqrt{2})>f(\sqrt{3})\). D’où \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}>\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\).
Solution de l’exercice 3
  1. \(D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). \(1+\frac{2}{x-2}=\frac{x-2+2}{x-2}=\frac{x}{x-2}=g(x)\).
  2. \(f(x)=x^2-2x\) est une parabole de sommet \((1, -1)\) tournée vers le haut. \(g(x)\) est une hyperbole décroissante sur ses deux branches.
  3. Intersection de \((C_f)\) avec les axes: \(f(0)=0 \implies (0,0)\). \(f(x)=0 \implies x=0\) ou \(x=2 \implies (0,0)\) et \((2,0)\).
    Intersection de \((C_g)\) avec les axes: \(g(0)=0 \implies (0,0)\).
  4. x y C_f C_g C_h C_k
  5. \(f(x)=g(x) \Leftrightarrow x(x-2) = \frac{x}{x-2} \Leftrightarrow x((x-2)-\frac{1}{x-2})=0 \Leftrightarrow x\frac{(x-3)(x-1)}{x-2}=0\). Solutions \(x=0, x=1, x=3\). Points: \((0,0)\), \((1,-1)\), \((3,3)\).
  6. Graphiquement, \(f(x)\le g(x)\) sur \([0,1] \cup ]2,3]\).
  7. \(h(x)=\frac{|x|}{|x|-2}\)
    1. \(D_{h} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).
    2. \(h(-x) = \frac{|-x|}{|-x|-2} = h(x)\). h est paire.
    3. Pour \(x \ge 0\), \(h(x)=g(x)\).
    4. La courbe de h est la même que g pour \(x \ge 0\) et symétrique par rapport à l’axe y.
  8. \(k(x)=|f(x)| = |x^2-2x|\)
    1. La courbe de k est celle de f, mais la partie sous l’axe des x est retournée par symétrie.
    2. Nombre de solutions de \(k(x)=m\): Si \(m<0\), 0 solution. Si \(m=0\), 2 solutions. Si \(01\), 2 solutions.