Exercices : Géométrie dans l’espace – Chapitre 14

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Exercices : Géométrie dans l’espace

Chapitre 14

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………

Exercice 1

Soit ABCDEFGH un cube de l’espace et soit I le milieu du segment \([DC]\).

Exercice 2

SABCD une pyramide sa base est un trapèze ABCD tel que \((AB)||(CD)\).

Exercice 3

SABCD une pyramide sa base est un parallélogramme ABCD. Soient I et J les milieux respectifs des segments \([SB]\) et \([SC]\).

Exercice 4

ABCD un tétraèdre. Soient I, J et K les milieux respectifs des segments \([AC]\), \([AB]\) et \([AD]\).

Exercice 5

ABCD un tétraèdre tel que: \(BD=DC\) et Soient I, J et K les milieux respectifs des Segments \([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\).

Solutions : Géométrie dans l’espace – Chapitre 14

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Solution de l’exercice 1

On a ABCD une face du cube, donc les points A, B, C, D sont coplanaires et définissent le plan (ABC). La droite (DC) est une arête de cette face, elle est donc incluse dans le plan (ABC). Puisque I est le milieu de [DC], on a \(I \in (DC)\). Par conséquent, \(I \in (ABC)\).
On a ABCDEFGH un cube. La face BCGF est un carré, donc \((BC) || (FG)\). La face EFGH est un carré, donc \((FG) || (EH)\). Par transitivité, on a \((BC) || (EH)\). Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. Donc, les points E, H, C, B sont coplanaires.

Solution de l’exercice 2

Les plans (SAC) et (SBD) ont le point S en commun. Leur intersection est donc une droite passant par S. Soit I le point d’intersection des diagonales (AC) et (BD) de la base. Comme \(I \in (AC)\), \(I\) est dans le plan (SAC). Comme \(I \in (BD)\), \(I\) est dans le plan (SBD). Donc, I est un deuxième point commun. L’intersection est la droite \((\Delta) = (SI)\).
Les plans (SAB) et (SCD) ont le point S en commun. Leur intersection est une droite \((\Delta’)\) passant par S. On a \((AB) \subset (SAB)\) et \((CD) \subset (SCD)\). Puisque la base est un trapèze avec \((AB) || (CD)\), d’après le théorème du toit, la droite d’intersection \((\Delta’)\) est parallèle à (AB) et (CD).
Les plans (SAD) et (SBC) ont le point S en commun. Soit J le point d’intersection des droites (AD) et (BC) (les côtés non parallèles du trapèze). J appartient à (AD) donc au plan (SAD), et J appartient à (BC) donc au plan (SBC). J est un deuxième point commun. L’intersection est la droite \((\Delta ») = (SJ)\).

Solution de l’exercice 3

Dans le triangle SBC, I est le milieu de [SB] et J est le milieu de [SC]. D’après le théorème des milieux, \((IJ) || (BC)\). Comme ABCD est un parallélogramme, \((BC) || (AD)\). Par transitivité, \((IJ) || (AD)\).
On a montré que \((IJ) || (AD)\). La droite (AD) est contenue dans le plan (ADS). Puisqu’une droite (IJ) est parallèle à une droite (AD) d’un plan (ADS), alors la droite (IJ) est parallèle au plan (ADS).

Solution de l’exercice 4

Figure :
Dans le triangle ABC, I et J sont les milieux de [AC] et [AB]. Donc \((IJ) || (BC)\). Puisque \((BC) \subset (BCD)\), on a \((IJ) || (BCD)\).
Dans le triangle ABD, J et K sont les milieux de [AB] et [AD]. Donc \((JK) || (BD)\). Puisque \((BD) \subset (BCD)\), on a \((JK) || (BCD)\).
Le plan (IJK) est défini par les deux droites sécantes (IJ) et (JK). Comme ces deux droites sont parallèles au plan (BCD), on en déduit que le plan \((IJK)\) est parallèle au plan \((BCD)\).

Solution de l’exercice 5

Figure :
Dans le triangle ABC, I et J sont les milieux de [AB] et [AC]. Donc \((IJ) || (BC)\).
Dans le triangle BCD, on a \(BD=DC\) (triangle isocèle en D) et K est le milieu de [BC]. La droite (DK) est la médiane issue de D, mais aussi la hauteur. Donc \((DK) \perp (BC)\).
Puisque \((IJ) || (BC)\) et \((DK) \perp (BC)\), on en déduit que \((DK) \perp (IJ)\).