Exercices corrigés :  La droite dans le plan – Tronc commun Science

Exercices : La droite dans le plan – Chapitre 6

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Exercices : La droite dans le plan

Chapitre 6

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). Construire les points \(A(-4;2)\); \(B(-2;3)\); \(C(-3;-3)\); \(D(0;4)\); \(F(-3;0)\) et les vecteurs \(\vec{u}(3;2)\) et \(\vec{v}(-2;-4)\).

Exercice 2

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soient \(A(1;2)\); \(B(-5;4)\).

  1. Déterminer les coordonnées de I le milieu du segment [AB] et calculer \(AB=||\vec{AB}||\).
  2. Déterminer les coordonnées du point C tel que \(\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC}\).
  3. Quelle est la nature du quadrilatère OACB ?
  4. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) tel que \(\vec{u}=\vec{OA}+2\vec{OB}+\vec{IC}\).
Exercice 3

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soient les points \(A(1;2)\); \(B(-3;-1)\) et \(C(3;-2)\).

  1. Déterminer les coordonnées du point D tel que \(\vec{AB}=\vec{BD}\).
  2. Déterminer les coordonnées de I le milieu du segment [AB].
  3. Calculer les distances suivantes: AB, AC et BC.
Exercice 4

On considère dans la base \((\vec{i};\vec{j})\) les vecteurs \(\vec{u}(3;-2)\) et \(\vec{v}(-6;4)\). Est-ce que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires ?

Exercice 5

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soient les points \(A(\frac{1}{2};3)\); \(B(-2;-2)\) et \(C(1;4)\) et le vecteur \(\vec{u}(1;3)\).

  1. Déterminer le réel x pour que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}(x-2;5)\) soient colinéaires.
  2. Montrer que les points A, B et C sont alignés.
Exercice 6

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soit m un paramètre réel. Discuter suivant les valeurs de m la colinéarité de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans chaque cas:

  1. \(\vec{u}(3;2m+1)\) et \(\vec{v}(2;m)\)
  2. \(\vec{u}(m;1)\) et \(\vec{v}(1;m)\)
Exercice 7

Donner une représentation paramétrique de la droite \(D(A;\vec{u})\) qui passe par \(A(3;-5)\) et \(\vec{u}(-2;3)\) un vecteur directeur.

Exercice 8

Soient \(A(1;2)\) et \(B(-3;0)\).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
  2. Déterminer si chacun des points suivants appartient ou non à la droite (AB): \(C(0;2)\); \(D(-1;1)\); \(E(9;6)\).
Exercice 9

Donner un point et un vecteur directeur de la droite D de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=7t-1\\ y=-4t+11\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).

Exercice 10

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soient les points \(A(-2;1)\); \(B(3;7)\).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
  2. Déterminer les points d’intersections de la droite (AB) avec les axes du repère.
Exercice 11

Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par les points \(A(2;4)\) et \(B(5;-1)\).

Exercice 12

Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par le point \(A(1;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(-1;3)\).

Exercice 13

Déterminer une équation cartésienne de la droite (D), passant par les points \(A(5;13)\) et B (10; 23).

Exercice 14

Déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir de sa représentation graphique. Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D), tracée ci-dessous.

Exercice 15

Soit (D) la droite d’équation cartésienne : \(4x+2y+3=0\). Déterminer l’équation réduite de la droite (D) et son coefficient directeur et un vecteur directeur.

Exercice 16

Représenter graphiquement les droites suivantes:

  1. \((D_{1}): 2x+y-3=0\)
  2. \((D_{2}): x=3\)
  3. \((D_{3}): y=2\)
Exercice 17

Étudier la position relative des deux droites (D) et (D’) dans chaque cas suivant :

  1. \((D): 2x-4y+3=0\) et \((D’): -x+2y+5=0\)
  2. \((D): 2x+5y-2=0\) et \((D’): x+3y-2=0\)
Exercice 18

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soient les points \(A(1,2)\); \(B(3,-2)\) et les droites: \((D_{1}): 6x+3y+2=0\) et \((D_{2}): 3x-2y-1=0\).

  1. Montrer que les droites \((D_{1})\) et \((D_{2})\) sont sécantes et déterminer le point d’intersection H.
  2. Donner une équation cartésienne de la droite (AB).
  3. Étudier la position relative des droites (AB) et \((D_{1})\).
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) qui passe par le point \(C(1,2)\) et parallèle à \((D_{2})\).
Exercice 19

Le plan est rapporté au Repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) et soient les droites: \((D): 3x-5y+6=0\) et \((D’): x-y=0\).

  1. Donner une représentation paramétrique des droites \((D)\) et \((D’)\).
  2. Donner une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) qui passe par le point \(B(1;0)\) et parallèle à (EC) avec \(E(3;3)\) et \(C(4;0)\).
  3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I de \((\Delta)\) et (D) et les coordonnées du point d’intersection J de \((\Delta)\) et \((D’)\).
  4. Montrer que J est le milieu de [IB].
Exercice 20

Soient A, B, C trois points du plan et E et F deux points tels que : \(\vec{AF}=\frac{5}{4}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\) et \(\vec{BE}=\frac{4}{3}\vec{BC}+\frac{1}{3}\vec{BA}\).

  1. Montrer que les points C, E, F sont alignés.
  2. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, E, F dans le repère \((C,\vec{CA},\vec{CB})\).
  3. Montrer par une autre méthode que les points C, E, F sont alignés.
Solutions : La droite dans le plan – Chapitre 6

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Solutions : La droite dans le plan

Chapitre 6

Solution de l’exercice 1
x y O A(-4,2) B(-2,3) C(-3,-3) D(0,4) F(-3,0) \(\vec{u}(3,2)\) \(\vec{v}(-2,-4)\)
Solution de l’exercice 2
  1. Les coordonnées de I, milieu de [AB], sont \(I(\frac{1-5}{2};\frac{2+4}{2})\), soit \(I(-2;3)\).
    La distance AB est \(AB = \sqrt{(-5-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
  2. \(\vec{OA}(1;2)\) et \(\vec{OB}(-5;4)\).
    \(\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}\) donc \(\vec{OC}(1-5; 2+4)\), soit \(\vec{OC}(-4;6)\). Les coordonnées de C sont donc \((-4;6)\).
  3. La relation \(\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}\) signifie que OACB est un parallélogramme.
  4. On a \(\vec{OA}(1;2)\), \(2\vec{OB}(-10;8)\) et \(\vec{IC}(-4-(-2); 6-3)\), soit \(\vec{IC}(-2;3)\).
    \(\vec{u} = \vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{IC}\), donc \(\vec{u}(1-10-2; 2+8+3)\), soit \(\vec{u}(-11;13)\).
Solution de l’exercice 3
  1. \(\vec{AB}(-3-1; -1-2)\), soit \(\vec{AB}(-4;-3)\).
    Soit \(D(x_D; y_D)\), on a \(\vec{BD}(x_D – (-3); y_D – (-1))\), soit \(\vec{BD}(x_D+3; y_D+1)\).
    \(\vec{AB}=\vec{BD} \iff \begin{cases} x_D+3 = -4 \\ y_D+1 = -3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = -7 \\ y_D = -4 \end{cases}\). Donc \(D(-7;-4)\). (B est le milieu de [AD])
  2. Les coordonnées de I, milieu de [AB], sont \(I(\frac{1-3}{2};\frac{2-1}{2})\), soit \(I(-1;\frac{1}{2})\).
  3. \(AB = \sqrt{(-4)^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25}=5\).
    \(AC = \sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2} = \sqrt{2^2+(-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
    \(BC = \sqrt{(3-(-3))^2+(-2-(-1))^2} = \sqrt{6^2+(-1)^2} = \sqrt{36+1} = \sqrt{37}\).
Solution de l’exercice 4

On calcule le déterminant des vecteurs \(\vec{u}(3;-2)\) et \(\vec{v}(-6;4)\):
\(det(\vec{u},\vec{v}) = (3)(4) – (-2)(-6) = 12 – 12 = 0\).
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. On peut aussi remarquer que \(\vec{v} = -2\vec{u}\).

Solution de l’exercice 16
xy \((D_1)\) \((D_2)\) \((D_3)\)
Solution de l’exercice 17
  1. \((D): 2x-4y+3=0\), vecteur directeur \(\vec{u}(4;2)\). \((D’): -x+2y+5=0\), vecteur directeur \(\vec{v}(-2;-1)\).
    \(det(\vec{u},\vec{v}) = 4(-1) – 2(-2) = 0\). Les droites sont parallèles.
    Le point \((0; 3/4)\) est sur (D) mais pas sur (D’). Elles sont strictement parallèles.
  2. \((D): 2x+5y-2=0\), vecteur directeur \(\vec{u}(-5;2)\). \((D’): x+3y-2=0\), vecteur directeur \(\vec{v}(-3;1)\).
    \(det(\vec{u},\vec{v}) = -5(1) – 2(-3) = 1 \neq 0\). Les droites sont sécantes.
    Pour trouver le point d’intersection, on résout le système. On trouve le point \(E(-4;2)\).
Solution de l’exercice 20
  1. On exprime \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) en fonction de \(\vec{CA}\) et \(\vec{CB}\).
    \(\vec{CF} = \vec{CA} + \vec{AF} = \vec{CA} + \frac{5}{4}\vec{AC} – \frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{CA} – \frac{5}{4}\vec{CA} – \frac{1}{2}(\vec{CB}-\vec{CA}) = \frac{1}{4}\vec{CA} – \frac{1}{2}\vec{CB}\).
    \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = \vec{CB} + \frac{4}{3}\vec{BC} + \frac{1}{3}\vec{BA} = \frac{1}{3}\vec{CA} – \frac{2}{3}\vec{CB}\).
    On remarque que \(\vec{CE} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4}\vec{CA} – \frac{1}{2}\vec{CB}) = \frac{4}{3}\vec{CF}\). Les vecteurs sont colinéaires, donc les points C, E, F sont alignés.
  2. Dans le repère \((C,\vec{CA},\vec{CB})\): \(C(0;0)\), \(A(1;0)\), \(B(0;1)\).
    D’après le calcul précédent, \(\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CA} – \frac{1}{2}\vec{CB}\), donc \(F(\frac{1}{4};-\frac{1}{2})\).
    Et \(\vec{CE} = \frac{1}{3}\vec{CA} – \frac{2}{3}\vec{CB}\), donc \(E(\frac{1}{3};-\frac{2}{3})\).
  3. En utilisant les coordonnées : \(\vec{CE}(\frac{1}{3};-\frac{2}{3})\) et \(\vec{CF}(\frac{1}{4};-\frac{1}{2})\).
    \(det(\vec{CE},\vec{CF}) = (\frac{1}{3})(-\frac{1}{2})-(-\frac{2}{3})(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{6}+\frac{2}{12} = 0\). Les vecteurs sont colinéaires.
A B C F E